Trigonométrie Exemples

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 4 \\ c = \\ a = & 3 \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = \\ C = & 90 ° \end{matrix} \end{matrix}$

Étape 1

Utilisez la loi des cosinus pour déterminer le côté inconnu du triangle, à partir des deux autres côtés et de l’angle inclus.

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)$

Étape 2

Résolvez l’équation.

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)}$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$c = \sqrt{{(3)}^{2} + {(4)}^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cos (90 °)}$

Étape 4

Simplifiez les résultats.

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Étape 4.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$c = \sqrt{9 + {(4)}^{2} - 2 \cdot 3 \cdot (4 \cos (90 °))}$

Étape 4.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$c = \sqrt{9 + 16 - 2 \cdot 3 \cdot (4 \cos (90 °))}$

Étape 4.3

Multipliez $- 2 \cdot 3 \cdot 4$ .

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Étape 4.3.1

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$c = \sqrt{9 + 16 - 6 \cdot (4 \cos (90 °))}$

Étape 4.3.2

Multipliez $- 6$ par $4$ .

$c = \sqrt{9 + 16 - 24 \cos (90 °)}$

Étape 4.4

La valeur exacte de $\cos (90 °)$ est $0$ .

$c = \sqrt{9 + 16 - 24 \cdot 0}$

Étape 4.5

Multipliez $- 24$ par $0$ .

$c = \sqrt{9 + 16 + 0}$

Étape 4.6

Additionnez $9 + 16$ et $0$ .

$c = \sqrt{9 + 16}$

Étape 4.7

Additionnez $9$ et $16$ .

$c = \sqrt{25}$

Étape 4.8

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$c = \sqrt{5^{2}}$

Étape 4.9

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$c = 5$

Étape 5

La loi des sinus repose sur la proportionnalité des côtés et des angles dans les triangles. Cette loi indique que pour les angles d’un triangle non rectangle, chaque angle du triangle a le même rapport de la mesure de l’angle sur la valeur du sinus.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 6

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $A$ .

$\frac{\sin (A)}{3} = \frac{\sin (90 °)}{5}$

Étape 7

Résolvez l’équation pour $A$ .

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Étape 7.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 \frac{\sin (A)}{3} = 3 \frac{\sin (90 °)}{5}$

Étape 7.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{\sin (A)}{3} = 3 \frac{\sin (90 °)}{5}$

Étape 7.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (A) = 3 \frac{\sin (90 °)}{5}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.2.1

Simplifiez $3 \frac{\sin (90 °)}{5}$ .

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Étape 7.2.2.1.1

La valeur exacte de $\sin (90 °)$ est $1$ .

$\sin (A) = 3 (\frac{1}{5})$

Étape 7.2.2.1.2

Associez $3$ et $\frac{1}{5}$ .

$\sin (A) = \frac{3}{5}$

Étape 7.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $A$ de l’intérieur du sinus.

$A = \arcsin (\frac{3}{5})$

Étape 7.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.4.1

Évaluez $\arcsin (\frac{3}{5})$ .

$A = 36.86989764$

Étape 7.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$A = 180 - 36.86989764$

Étape 7.6

Soustrayez $36.86989764$ de $180$ .

$A = 143.13010235$

Étape 7.7

La solution de l’équation est $A = 36.86989764$ .

$A = 36.86989764, 143.13010235$

Étape 7.8

Excluez l’angle non valide.

$A = 36.86989764$

Étape 8

La somme de tous les angles dans un triangle est $180$ degrés.

$36.86989764 + 90 ° + B = 180$

Étape 9

Résolvez l’équation pour $B$ .

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Étape 9.1

Additionnez $36.86989764$ et $90 °$ .

$126.86989764 + B = 180$

Étape 9.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $B$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.2.1

Soustrayez $126.86989764$ des deux côtés de l’équation.

$B = 180 - 126.86989764$

Étape 9.2.2

Soustrayez $126.86989764$ de $180$ .

$B = 53.13010235$

Étape 10

Ce sont les résultats pour tous les angles et côtés du triangle donné.

$A = 36.86989764$

$B = 53.13010235$

$C = 90 °$

$a = 3$

$b = 4$

$c = 5$