Trigonométrie Exemples

$z = 4 \sqrt{3} - 4 i$

Étape 1

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 2

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 3

Remplacez les valeurs réelles de $a = 4 \sqrt{3}$ et $b = - 4$ .

$| z | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(4 \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 4

Déterminez $| z |$ .

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Étape 4.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + {(4 \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 4.1.2

Appliquez la règle de produit à $4 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{16 + 4^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 4.1.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 4.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 4.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3}$

Étape 4.2.5

Évaluez l’exposant.

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3}$

Étape 4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.1

Multipliez $16$ par $3$ .

$| z | = \sqrt{16 + 48}$

Étape 4.3.2

Additionnez $16$ et $48$ .

$| z | = \sqrt{64}$

Étape 4.3.3

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$| z | = \sqrt{8^{2}}$

Étape 4.3.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| z | = 8$

Étape 5

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{- 4}{4 \sqrt{3}})$

Étape 6

Comme la tangente inverse de $\frac{- 4}{4 \sqrt{3}}$ produit un angle dans le quatrième quadrant, la valeur de l’angle est $- \frac{π}{6}$ .

$θ = - \frac{π}{6}$

Étape 7

Remplacez les valeurs de $θ = - \frac{π}{6}$ et $| z | = 8$ .

$8 (\cos (- \frac{π}{6}) + i \sin (- \frac{π}{6}))$

Étape 8

Remplacez le côté droit de l’équation par la forme trigonométrique.

$z = 8 (\cos (- \frac{π}{6}) + i \sin (- \frac{π}{6}))$