Trigonométrie Exemples

$2 \sin (2 x) - 1 = 0$ , $[0, 2 π)$

Étape 1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 \sin (2 x) = 1$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $2 \sin (2 x) = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $2 \sin (2 x) = 1$ par $2$ .

$\frac{2 \sin (2 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin (2 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $\sin (2 x)$ par $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}$

Étape 3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$2 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Étape 4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{6}$ .

$2 x = \frac{π}{6}$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{6}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{6}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 5.3.2

Multipliez $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 5.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{6}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 2}$

Étape 5.3.2.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$x = \frac{π}{12}$

Étape 6

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$2 x = π - \frac{π}{6}$

Étape 7

Résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Simplifiez

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Étape 7.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$2 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 7.1.2

Associez $π$ et $\frac{6}{6}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 7.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 7.1.4

Soustrayez $π$ de $π \cdot 6$ .

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Étape 7.1.4.1

Remettez dans l’ordre $π$ et $6$ .

$2 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Étape 7.1.4.2

Soustrayez $π$ de $6 \cdot π$ .

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

Étape 7.2

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 7.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Étape 7.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Étape 7.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 7.2.3.2

Multipliez $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 7.2.3.2.1

Multipliez $\frac{5 π}{6}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

Étape 7.2.3.2.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Étape 8

Déterminez la période de $\sin (2 x)$ .

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Étape 8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 8.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 8.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 8.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 9

La période de la fonction $\sin (2 x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 10

Déterminez les valeurs de $n$ qui produisent une valeur sur l’intervalle $[0, 2 π)$ .

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Étape 10.1

Insérez $0$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $[0, 2 π)$ .

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Étape 10.1.1

Insérez $0$ pour $n$ .

$\frac{π}{12} + π (0)$

Étape 10.1.2

Simplifiez

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Étape 10.1.2.1

Multipliez $π$ par $0$ .

$\frac{π}{12} + 0$

Étape 10.1.2.2

Additionnez $\frac{π}{12}$ et $0$ .

$\frac{π}{12}$

Étape 10.1.3

L’intervalle $[0, 2 π)$ contient $\frac{π}{12}$ .

$x = \frac{π}{12}$

Étape 10.2

Insérez $0$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $[0, 2 π)$ .

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Étape 10.2.1

Insérez $0$ pour $n$ .

$\frac{5 π}{12} + π (0)$

Étape 10.2.2

Simplifiez

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Étape 10.2.2.1

Multipliez $π$ par $0$ .

$\frac{5 π}{12} + 0$

Étape 10.2.2.2

Additionnez $\frac{5 π}{12}$ et $0$ .

$\frac{5 π}{12}$

Étape 10.2.3

L’intervalle $[0, 2 π)$ contient $\frac{5 π}{12}$ .

$x = \frac{π}{12}, \frac{5 π}{12}$

Étape 10.3

Insérez $1$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $[0, 2 π)$ .

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Étape 10.3.1

Insérez $1$ pour $n$ .

$\frac{π}{12} + π (1)$

Étape 10.3.2

Simplifiez

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Étape 10.3.2.1

Multipliez $π$ par $1$ .

$\frac{π}{12} + π$

Étape 10.3.2.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π}{12} + π \cdot \frac{12}{12}$

Étape 10.3.2.3

Associez les fractions.

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Étape 10.3.2.3.1

Associez $π$ et $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π}{12} + \frac{π \cdot 12}{12}$

Étape 10.3.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π + π \cdot 12}{12}$

Étape 10.3.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.3.2.4.1

Déplacez $12$ à gauche de $π$ .

$\frac{π + 12 \cdot π}{12}$

Étape 10.3.2.4.2

Additionnez $π$ et $12 π$ .

$\frac{13 π}{12}$

Étape 10.3.3

L’intervalle $[0, 2 π)$ contient $\frac{13 π}{12}$ .

$x = \frac{π}{12}, \frac{5 π}{12}, \frac{13 π}{12}$

Étape 10.4

Insérez $1$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $[0, 2 π)$ .

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Étape 10.4.1

Insérez $1$ pour $n$ .

$\frac{5 π}{12} + π (1)$

Étape 10.4.2

Simplifiez

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Étape 10.4.2.1

Multipliez $π$ par $1$ .

$\frac{5 π}{12} + π$

Étape 10.4.2.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{12}{12}$ .

$\frac{5 π}{12} + π \cdot \frac{12}{12}$

Étape 10.4.2.3

Associez les fractions.

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Étape 10.4.2.3.1

Associez $π$ et $\frac{12}{12}$ .

$\frac{5 π}{12} + \frac{π \cdot 12}{12}$

Étape 10.4.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 π + π \cdot 12}{12}$

Étape 10.4.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.4.2.4.1

Déplacez $12$ à gauche de $π$ .

$\frac{5 π + 12 \cdot π}{12}$

Étape 10.4.2.4.2

Additionnez $5 π$ et $12 π$ .

$\frac{17 π}{12}$

Étape 10.4.3

L’intervalle $[0, 2 π)$ contient $\frac{17 π}{12}$ .

$x = \frac{π}{12}, \frac{5 π}{12}, \frac{13 π}{12}, \frac{17 π}{12}$