Trigonométrie Exemples

$y^{2} + 8 y + 4 x + 36 = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1

Isolez $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1.1.1

Soustrayez $y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$8 y + 4 x + 36 = - y^{2}$

Étape 1.1.1.2

Soustrayez $8 y$ des deux côtés de l’équation.

$4 x + 36 = - y^{2} - 8 y$

Étape 1.1.1.3

Soustrayez $36$ des deux côtés de l’équation.

$4 x = - y^{2} - 8 y - 36$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $4 x = - y^{2} - 8 y - 36$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = - y^{2} - 8 y - 36$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- y^{2}}{4} + \frac{- 8 y}{4} + \frac{- 36}{4}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- y^{2}}{4} + \frac{- 8 y}{4} + \frac{- 36}{4}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{4} + \frac{- 8 y}{4} + \frac{- 36}{4}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 8 y}{4} + \frac{- 36}{4}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $4$ .

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Étape 1.1.2.3.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 8 y$ .

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{4 (- 2 y)}{4} + \frac{- 36}{4}$

Étape 1.1.2.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.3.1.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{4 (- 2 y)}{4 (1)} + \frac{- 36}{4}$

Étape 1.1.2.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{4 (- 2 y)}{4 \cdot 1} + \frac{- 36}{4}$

Étape 1.1.2.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 2 y}{1} + \frac{- 36}{4}$

Étape 1.1.2.3.1.2.2.4

Divisez $- 2 y$ par $1$ .

$x = - \frac{y^{2}}{4} - 2 y + \frac{- 36}{4}$

Étape 1.1.2.3.1.3

Divisez $- 36$ par $4$ .

$x = - \frac{y^{2}}{4} - 2 y - 9$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $- \frac{y^{2}}{4} - 2 y - 9$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$b = - 2$

$c = - 9$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 (- \frac{1}{4})}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (- \frac{1}{4})}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (- \frac{1}{4})}$

Étape 1.2.3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 1}{- \frac{1}{4}}$

Étape 1.2.3.2.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$d = \frac{1}{\frac{1}{4}}$

Étape 1.2.3.2.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = 1 \cdot 4$

Étape 1.2.3.2.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$d = 4$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 9 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$e = - 9 - \frac{4}{4 (- \frac{1}{4})}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.4.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = - 9 - \frac{4}{- 4 (\frac{1}{4})}$

Étape 1.2.4.2.1.2.2

Associez $- 4$ et $\frac{1}{4}$ .

$e = - 9 - \frac{4}{\frac{- 4}{4}}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Divisez $- 4$ par $4$ .

$e = - 9 - \frac{4}{- 1}$

Étape 1.2.4.2.1.4

Divisez $4$ par $- 1$ .

$e = - 9 - - 4$

Étape 1.2.4.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$e = - 9 + 4$

Étape 1.2.4.2.2

Additionnez $- 9$ et $4$ .

$e = - 5$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- \frac{1}{4} {(y + 4)}^{2} - 5$ .

$- \frac{1}{4} {(y + 4)}^{2} - 5$

Étape 1.3

Définissez $x$ égal au nouveau côté droit.

$x = - \frac{1}{4} \cdot {(y + 4)}^{2} - 5$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$h = - 5$

$k = - 4$

Étape 3

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(- 5, - 4)$

Étape 4