Trigonométrie Exemples

$25 x^{2} + 9 y^{2} + 100 x - 125 = 0$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’ellipse.

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Étape 1.1

Ajoutez $125$ aux deux côtés de l’équation.

$25 x^{2} + 9 y^{2} + 100 x = 125$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $25 x^{2} + 100 x$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 25$

$b = 100$

$c = 0$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{100}{2 \cdot 25}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $100$ et $2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $100$ .

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 25}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 25$ .

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 (25)}$

Étape 1.2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 25}$

Étape 1.2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{50}{25}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $50$ et $25$ .

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Étape 1.2.3.2.2.1

Factorisez $25$ à partir de $50$ .

$d = \frac{25 \cdot 2}{25}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.2.2.1

Factorisez $25$ à partir de $25$ .

$d = \frac{25 \cdot 2}{25 (1)}$

Étape 1.2.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{25 \cdot 2}{25 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{2}{1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$d = 2$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{100^{2}}{4 \cdot 25}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $100$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{10000}{4 \cdot 25}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $25$ .

$e = 0 - \frac{10000}{100}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Divisez $10000$ par $100$ .

$e = 0 - 1 \cdot 100$

Étape 1.2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $100$ .

$e = 0 - 100$

Étape 1.2.4.2.2

Soustrayez $100$ de $0$ .

$e = - 100$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $25 {(x + 2)}^{2} - 100$ .

$25 {(x + 2)}^{2} - 100$

Étape 1.3

Remplacez $25 x^{2} + 100 x$ par $25 {(x + 2)}^{2} - 100$ dans l’équation $25 x^{2} + 9 y^{2} + 100 x = 125$ .

$25 {(x + 2)}^{2} - 100 + 9 y^{2} = 125$

Étape 1.4

Déplacez $- 100$ du côté droit de l’équation en ajoutant $100$ des deux côtés.

$25 {(x + 2)}^{2} + 9 y^{2} = 125 + 100$

Étape 1.5

Additionnez $125$ et $100$ .

$25 {(x + 2)}^{2} + 9 y^{2} = 225$

Étape 1.6

Divisez chaque terme par $225$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{25 {(x + 2)}^{2}}{225} + \frac{9 y^{2}}{225} = \frac{225}{225}$

Étape 1.7

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une ellipse. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer le centre et le petit et le grand axe de l’ellipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette ellipse avec celles de la forme normalisée. La variable $a$ représente le rayon du grand axe de l’ellipse, $b$ représente le rayon du petit axe de l’ellipse, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$a = 5$

$b = 3$

$k = 0$

$h = - 2$

Étape 4

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 4.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’ellipse en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(5)}^{2} - {(3)}^{2}}$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{25 - {(3)}^{2}}$

Étape 4.3.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{25 - 1 \cdot 9}$

Étape 4.3.3

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\sqrt{25 - 9}$

Étape 4.3.4

Soustrayez $9$ de $25$ .

$\sqrt{16}$

Étape 4.3.5

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\sqrt{4^{2}}$

Étape 4.3.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$4$

Étape 5

Déterminez les foyers.

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Étape 5.1

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $c$ à $k$ .

$(h, k + c)$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(- 2, 0 + 4)$

Étape 5.3

Simplifiez

$(- 2, 4)$

Étape 5.4

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en soustrayant $c$ à $k$ .

$(h, k - c)$

Étape 5.5

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(- 2, 0 - (4))$

Étape 5.6

Simplifiez

$(- 2, - 4)$

Étape 5.7

Les ellipses ont deux foyers.

${Focus}_{1}$ : $(- 2, 4)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2, - 4)$

${Focus}_{1}$ : $(- 2, 4)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2, - 4)$

Étape 6