Trigonométrie Exemples

${(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2} - {(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2}$

Étape 1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \sin (θ) - \cos (θ)$ et $b = \sin (θ) + \cos (θ)$ .

$(\sin (θ) - \cos (θ) + \sin (θ) + \cos (θ)) (\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin (θ) + \cos (θ)))$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Associez les termes opposés dans $\sin (θ) - \cos (θ) + \sin (θ) + \cos (θ)$ .

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Étape 2.1.1

Additionnez $- \cos (θ)$ et $\cos (θ)$ .

$(\sin (θ) + 0 + \sin (θ)) (\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin (θ) + \cos (θ)))$

Étape 2.1.2

Additionnez $\sin (θ)$ et $0$ .

$(\sin (θ) + \sin (θ)) (\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin (θ) + \cos (θ)))$

Étape 2.2

Additionnez $\sin (θ)$ et $\sin (θ)$ .

$2 \sin (θ) (\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin (θ) + \cos (θ)))$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 \sin (θ) (\sin (θ) - \cos (θ) - \sin (θ) - \cos (θ))$

Étape 2.4

Associez les termes opposés dans $\sin (θ) - \cos (θ) - \sin (θ) - \cos (θ)$ .

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Étape 2.4.1

Soustrayez $\sin (θ)$ de $\sin (θ)$ .

$2 \sin (θ) (0 - \cos (θ) - \cos (θ))$

Étape 2.4.2

Soustrayez $\cos (θ)$ de $0$ .

$2 \sin (θ) (- \cos (θ) - \cos (θ))$

Étape 2.5

Soustrayez $\cos (θ)$ de $- \cos (θ)$ .

$2 \sin (θ) (- 2 \cos (θ))$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Remettez dans l’ordre $2 \sin (θ)$ et $- 2 \cos (θ)$ .

$- 2 \cos (θ) (2 \sin (θ))$

Étape 2.6.2

Ajoutez des parenthèses.

$- 2 (\cos (θ) (2 \sin (θ)))$

Étape 2.6.3

Remettez dans l’ordre $\cos (θ)$ et $2 \sin (θ)$ .

$- 2 (2 \sin (θ) \cos (θ))$

Étape 3

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$- 2 \sin (2 θ)$