Trigonométrie Exemples

$y = - \frac{1}{6} x^{2} + 7 x - 80$

Étape 1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{6}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{6} + 7 x - 80$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $- \frac{x^{2}}{6} + 7 x - 80$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - \frac{1}{6}$

$b = 7$

$c = - 80$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{7}{2 (- \frac{1}{6})}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.3.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$d = \frac{7}{- 2 (\frac{1}{6})}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{6}$ .

$d = \frac{7}{\frac{- 2}{6}}$

Étape 1.2.3.2.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $6$ .

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Étape 1.2.3.2.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$d = \frac{7}{\frac{2 (- 1)}{6}}$

Étape 1.2.3.2.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$d = \frac{7}{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3}}$

Étape 1.2.3.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{7}{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3}}$

Étape 1.2.3.2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{7}{\frac{- 1}{3}}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = \frac{7}{- \frac{1}{3}}$

Étape 1.2.3.2.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = 7 (- 1 \cdot 3)$

Étape 1.2.3.2.4

Multipliez $7 (- 1 \cdot 3)$ .

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Étape 1.2.3.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$d = 7 \cdot - 3$

Étape 1.2.3.2.4.2

Multipliez $7$ par $- 3$ .

$d = - 21$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 80 - \frac{7^{2}}{4 (- \frac{1}{6})}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$e = - 80 - \frac{49}{4 (- \frac{1}{6})}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.4.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = - 80 - \frac{49}{- 4 (\frac{1}{6})}$

Étape 1.2.4.2.1.2.2

Associez $- 4$ et $\frac{1}{6}$ .

$e = - 80 - \frac{49}{\frac{- 4}{6}}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.2.4.2.1.3.1

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $6$ .

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Étape 1.2.4.2.1.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$e = - 80 - \frac{49}{\frac{2 (- 2)}{6}}$

Étape 1.2.4.2.1.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.4.2.1.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$e = - 80 - \frac{49}{\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}}$

Étape 1.2.4.2.1.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$e = - 80 - \frac{49}{\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}}$

Étape 1.2.4.2.1.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$e = - 80 - \frac{49}{\frac{- 2}{3}}$

Étape 1.2.4.2.1.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = - 80 - \frac{49}{- \frac{2}{3}}$

Étape 1.2.4.2.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = - 80 - (49 (- \frac{3}{2}))$

Étape 1.2.4.2.1.5

Multipliez $49 (- \frac{3}{2})$ .

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Étape 1.2.4.2.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $49$ .

$e = - 80 - (- 49 (\frac{3}{2}))$

Étape 1.2.4.2.1.5.2

Associez $- 49$ et $\frac{3}{2}$ .

$e = - 80 - \frac{- 49 \cdot 3}{2}$

Étape 1.2.4.2.1.5.3

Multipliez $- 49$ par $3$ .

$e = - 80 - \frac{- 147}{2}$

Étape 1.2.4.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = - 80 - - \frac{147}{2}$

Étape 1.2.4.2.1.7

Multipliez $- - \frac{147}{2}$ .

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Étape 1.2.4.2.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e = - 80 + 1 (\frac{147}{2})$

Étape 1.2.4.2.1.7.2

Multipliez $\frac{147}{2}$ par $1$ .

$e = - 80 + \frac{147}{2}$

Étape 1.2.4.2.2

Pour écrire $- 80$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$e = - 80 \cdot \frac{2}{2} + \frac{147}{2}$

Étape 1.2.4.2.3

Associez $- 80$ et $\frac{2}{2}$ .

$e = \frac{- 80 \cdot 2}{2} + \frac{147}{2}$

Étape 1.2.4.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{- 80 \cdot 2 + 147}{2}$

Étape 1.2.4.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.4.2.5.1

Multipliez $- 80$ par $2$ .

$e = \frac{- 160 + 147}{2}$

Étape 1.2.4.2.5.2

Additionnez $- 160$ et $147$ .

$e = \frac{- 13}{2}$

Étape 1.2.4.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = - \frac{13}{2}$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- \frac{1}{6} {(x - 21)}^{2} - \frac{13}{2}$ .

$- \frac{1}{6} {(x - 21)}^{2} - \frac{13}{2}$

Étape 1.3

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = - \frac{1}{6} \cdot {(x - 21)}^{2} - \frac{13}{2}$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - \frac{1}{6}$

$h = 21$

$k = - \frac{13}{2}$

Étape 3

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(21, - \frac{13}{2})$

Étape 4

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 4.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 4.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{6})}$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 4.3.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{6})}$

Étape 4.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{6})}$

Étape 4.3.2

Associez $4$ et $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{6}}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $6$ .

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Étape 4.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- \frac{1}{\frac{2 (2)}{6}}$

Étape 4.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$- \frac{1}{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}}$

Étape 4.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}}$

Étape 4.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{\frac{2}{3}}$

Étape 4.3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- (1 (\frac{3}{2}))$

Étape 4.3.5

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $1$ .

$- \frac{3}{2}$

Étape 5

Déterminez la directrice.

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Étape 5.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = - 5$

Étape 6