Trigonométrie Exemples

$x^{3} + 64 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Réécrivez $64$ comme $4^{3}$ .

$x^{3} + 4^{3} = 0$

Étape 1.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$(x + 4) (x^{2} - x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$(x + 4) (x^{2} - 4 x + 4^{2}) = 0$

Étape 1.3.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 4 = 0$

$x^{2} - 4 x + 16 = 0$

Étape 3

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 3.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 4

Définissez $x^{2} - 4 x + 16$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x^{2} - 4 x + 16$ égal à $0$ .

$x^{2} - 4 x + 16 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x^{2} - 4 x + 16 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 4$ et $c = 16$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3

Simplifiez

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Étape 4.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Étape 4.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.3

Soustrayez $64$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.4

Réécrivez $- 48$ comme $- 1 (48)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (48)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.7

Réécrivez $48$ comme $4^{2} \cdot 3$ .

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Étape 4.2.3.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.2.3.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Étape 4.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 4.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.4.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Étape 4.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.4.1.3

Soustrayez $64$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.4.1.4

Réécrivez $- 48$ comme $- 1 (48)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (48)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.4.1.7

Réécrivez $48$ comme $4^{2} \cdot 3$ .

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Étape 4.2.4.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.4.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.4.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.2.4.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Étape 4.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 2 + 2 i \sqrt{3}$

Étape 4.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 4.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.5.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Étape 4.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.5.1.3

Soustrayez $64$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.5.1.4

Réécrivez $- 48$ comme $- 1 (48)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (48)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.5.1.7

Réécrivez $48$ comme $4^{2} \cdot 3$ .

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Étape 4.2.5.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.5.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.5.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.2.5.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Étape 4.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 2 - 2 i \sqrt{3}$

Étape 4.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 2 + 2 i \sqrt{3}, 2 - 2 i \sqrt{3}$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) = 0$ vraie.

$x = - 4, 2 + 2 i \sqrt{3}, 2 - 2 i \sqrt{3}$