Trigonométrie Exemples

${(\sqrt{3} + i)}^{4}$

Étape 1

Utilisez le théorème du binôme.

${\sqrt{3}}^{4} + 4 {\sqrt{3}}^{3} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{4}$ comme $3^{2}$ .

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Étape 2.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

${(3^{\frac{1}{2}})}^{4} + 4 {\sqrt{3}}^{3} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 4 {\sqrt{3}}^{3} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$3^{\frac{4}{2}} + 4 {\sqrt{3}}^{3} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 2.1.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 4 {\sqrt{3}}^{3} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 4 {\sqrt{3}}^{3} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 4 {\sqrt{3}}^{3} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$3^{\frac{2}{1}} + 4 {\sqrt{3}}^{3} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.1.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$3^{2} + 4 {\sqrt{3}}^{3} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$9 + 4 {\sqrt{3}}^{3} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.3

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{3}$ comme $\sqrt{3^{3}}$ .

$9 + 4 \sqrt{3^{3}} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$9 + 4 \sqrt{27} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.5

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.1.5.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$9 + 4 \sqrt{9 (3)} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.5.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$9 + 4 \sqrt{3^{2} \cdot 3} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$9 + 4 (3 \sqrt{3}) i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.7

Multipliez $3$ par $4$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.8

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.1.8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.8.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.8.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.8.4.1

Annulez le facteur commun.

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.8.4.2

Réécrivez l’expression.

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 \cdot 3^{1} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.8.5

Évaluez l’exposant.

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 \cdot 3 i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.9

Multipliez $6$ par $3$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i + 18 i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.10

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i + 18 \cdot - 1 + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.11

Multipliez $18$ par $- 1$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.12

Factorisez $i^{2}$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 + 4 \sqrt{3} (i^{2} \cdot i) + i^{4}$

Étape 2.1.13

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 + 4 \sqrt{3} (- 1 \cdot i) + i^{4}$

Étape 2.1.14

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 + 4 \sqrt{3} (- i) + i^{4}$

Étape 2.1.15

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} i + i^{4}$

Étape 2.1.16

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1.16.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} i + {(i^{2})}^{2}$

Étape 2.1.16.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} i + {(- 1)}^{2}$

Étape 2.1.16.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} i + 1$

Étape 2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.2.1

Soustrayez $18$ de $9$ .

$12 \sqrt{3} i - 9 - 4 \sqrt{3} i + 1$

Étape 2.2.2

Soustrayez $4 \sqrt{3} i$ de $12 \sqrt{3} i$ .

$8 \sqrt{3} i - 9 + 1$

Étape 2.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.3.1

Additionnez $- 9$ et $1$ .

$8 \sqrt{3} i - 8$

Étape 2.2.3.2

Remettez dans l’ordre $8 \sqrt{3} i$ et $- 8$ .

$- 8 + 8 \sqrt{3} i$