Trigonométrie Exemples

${(\sqrt{2} + i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 1

Utilisez le théorème du binôme.

${\sqrt{2}}^{3} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{3}$ comme $\sqrt{2^{3}}$ .

$\sqrt{2^{3}} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\sqrt{8} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2.1.3

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 2.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\sqrt{4 (2)} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2.1.3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 2} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$2 \sqrt{2} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2.1.5

Multipliez ${\sqrt{2}}^{2}$ par $\sqrt{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.5.1

Déplacez $\sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 3 (\sqrt{2} {\sqrt{2}}^{2}) i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2.1.5.2

Multipliez $\sqrt{2}$ par ${\sqrt{2}}^{2}$ .

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Étape 2.1.5.2.1

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$2 \sqrt{2} + 3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{2}) i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2.1.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \sqrt{2} + 3 {\sqrt{2}}^{1 + 2} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2.1.5.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$2 \sqrt{2} + 3 {\sqrt{2}}^{3} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2.1.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{3}$ comme $\sqrt{2^{3}}$ .

$2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2^{3}} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2.1.7

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{8} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2.1.8

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 2.1.8.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{4 (2)} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2.1.8.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2^{2} \cdot 2} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$2 \sqrt{2} + 3 (2 \sqrt{2}) i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2.1.10

Multipliez $2$ par $3$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2.1.11

Appliquez la règle de produit à $i \sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{2} (i^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2.1.12

Multipliez $\sqrt{2}$ par ${\sqrt{2}}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.12.1

Déplacez ${\sqrt{2}}^{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 ({\sqrt{2}}^{2} \sqrt{2}) i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2.1.12.2

Multipliez ${\sqrt{2}}^{2}$ par $\sqrt{2}$ .

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Étape 2.1.12.2.1

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 ({\sqrt{2}}^{2} {\sqrt{2}}^{1}) i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2.1.12.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 {\sqrt{2}}^{2 + 1} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2.1.12.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 {\sqrt{2}}^{3} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2.1.13

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{3}$ comme $\sqrt{2^{3}}$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{2^{3}} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2.1.14

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{8} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2.1.15

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 2.1.15.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{4 (2)} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2.1.15.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{2^{2} \cdot 2} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2.1.16

Extrayez les termes de sous le radical.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 (2 \sqrt{2}) i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2.1.17

Multipliez $2$ par $3$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 6 \sqrt{2} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2.1.18

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 6 \sqrt{2} \cdot - 1 + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2.1.19

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2.1.20

Appliquez la règle de produit à $i \sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} + i^{3} {\sqrt{2}}^{3}$

Étape 2.1.21

Factorisez $i^{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} + i^{2} \cdot i {\sqrt{2}}^{3}$

Étape 2.1.22

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - 1 \cdot i {\sqrt{2}}^{3}$

Étape 2.1.23

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i {\sqrt{2}}^{3}$

Étape 2.1.24

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{3}$ comme $\sqrt{2^{3}}$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i \sqrt{2^{3}}$

Étape 2.1.25

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i \sqrt{8}$

Étape 2.1.26

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 2.1.26.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i \sqrt{4 (2)}$

Étape 2.1.26.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Étape 2.1.27

Extrayez les termes de sous le radical.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i (2 \sqrt{2})$

Étape 2.1.28

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

Étape 2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.2.1

Soustrayez $6 \sqrt{2}$ de $2 \sqrt{2}$ .

$6 \sqrt{2} i - 4 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

Étape 2.2.2

Réorganisez les facteurs de $6 \sqrt{2} i$ .

$6 i \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

Étape 2.2.3

Soustrayez $2 i \sqrt{2}$ de $6 i \sqrt{2}$ .

$4 i \sqrt{2} - 4 \sqrt{2}$

Étape 2.2.4

Remettez dans l’ordre $4 i \sqrt{2}$ et $- 4 \sqrt{2}$ .

$- 4 \sqrt{2} + 4 i \sqrt{2}$