Trigonométrie Exemples

$y = 3 \cos (2 θ)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Comme $3$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $3 \cos (2 θ)$ par rapport à $θ$ est $3 \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]$ .

$3 \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ est $f' (g (θ)) g' (θ)$ où $f (θ) = \cos (θ)$ et $g (θ) = 2 θ$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 θ$ .

$3 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$3 (- \sin (u) \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 θ$ .

$3 (- \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 (\sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Étape 1.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $2 θ$ par rapport à $θ$ est $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$- 3 \sin (2 θ) (2 \frac{d}{d θ} [θ])$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$- 6 \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [θ]$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ est $n θ^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 6 \sin (2 θ) \cdot 1$

Étape 1.3.5

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$- 6 \sin (2 θ)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $- 6 \sin (2 θ)$ par rapport à $θ$ est $- 6 \frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]$ .

$f'' (θ) = - 6 \frac{d}{d θ} \sin (2 θ)$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ est $f' (g (θ)) g' (θ)$ où $f (θ) = \sin (θ)$ et $g (θ) = 2 θ$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 θ$ .

$f'' (θ) = - 6 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d θ} (2 θ))$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$f'' (θ) = - 6 (\cos (u) \frac{d}{d θ} (2 θ))$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 θ$ .

$f'' (θ) = - 6 (\cos (2 θ) \frac{d}{d θ} (2 θ))$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $2 θ$ par rapport à $θ$ est $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$f'' (θ) = - 6 \cos (2 θ) (2 \frac{d}{d θ} (θ))$

Étape 2.3.2

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$f'' (θ) = - 12 \cos (2 θ) \frac{d}{d θ} θ$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ est $n θ^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (θ) = - 12 \cos (2 θ) \cdot 1$

Étape 2.3.4

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$f'' (θ) = - 12 \cos (2 θ)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 6 \sin (2 θ) = 0$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $- 6 \sin (2 θ) = 0$ par $- 6$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $- 6 \sin (2 θ) = 0$ par $- 6$ .

$\frac{- 6 \sin (2 θ)}{- 6} = \frac{0}{- 6}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 6$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 6 \sin (2 θ)}{- 6} = \frac{0}{- 6}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $\sin (2 θ)$ par $1$ .

$\sin (2 θ) = \frac{0}{- 6}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Divisez $0$ par $- 6$ .

$\sin (2 θ) = 0$

Étape 5

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du sinus.

$2 θ = \arcsin (0)$

Étape 6

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$2 θ = 0$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $2 θ = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $2 θ = 0$ par $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $θ$ par $1$ .

$θ = \frac{0}{2}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$θ = 0$

Étape 8

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$2 θ = π - 0$

Étape 9

Résolvez $θ$ .

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Étape 9.1

Simplifiez

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Étape 9.1.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$2 θ = π + 0$

Étape 9.1.2

Additionnez $π$ et $0$ .

$2 θ = π$

Étape 9.2

Divisez chaque terme dans $2 θ = π$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 9.2.1

Divisez chaque terme dans $2 θ = π$ par $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{π}{2}$

Étape 9.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{π}{2}$

Étape 9.2.2.1.2

Divisez $θ$ par $1$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Étape 10

La solution de l’équation est $2 θ = 0$ .

$θ = 0, \frac{π}{2}$

Étape 11

Évaluez la dérivée seconde sur $θ = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 12 \cos (2 (0))$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 12.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$- 12 \cos (0)$

Étape 12.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- 12 \cdot 1$

Étape 12.3

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$- 12$

Étape 13

$θ = 0$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$θ = 0$ est un maximum local

Étape 14

Déterminez la valeur y quand $θ = 0$ .

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Étape 14.1

Remplacez la variable $θ$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = 3 \cos (2 (0))$

Étape 14.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 14.2.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$f (0) = 3 \cos (0)$

Étape 14.2.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (0) = 3 \cdot 1$

Étape 14.2.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (0) = 3$

Étape 14.2.4

La réponse finale est $3$ .

$y = 3$

Étape 15

Évaluez la dérivée seconde sur $θ = \frac{π}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 12 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 16.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 16.1.1

Annulez le facteur commun.

$- 12 \cos (2 \frac{π}{2})$

Étape 16.1.2

Réécrivez l’expression.

$- 12 \cos (π)$

Étape 16.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$- 12 (- \cos (0))$

Étape 16.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- 12 (- 1 \cdot 1)$

Étape 16.4

Multipliez $- 12 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 16.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 12 \cdot - 1$

Étape 16.4.2

Multipliez $- 12$ par $- 1$ .

$12$

Étape 17

$θ = \frac{π}{2}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$θ = \frac{π}{2}$ est un minimum local

Étape 18

Déterminez la valeur y quand $θ = \frac{π}{2}$ .

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Étape 18.1

Remplacez la variable $θ$ par $\frac{π}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{2}) = 3 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Étape 18.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 18.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 18.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{2}) = 3 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Étape 18.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{2}) = 3 \cos (π)$

Étape 18.2.2

$f (\frac{π}{2}) = 3 (- \cos (0))$

Étape 18.2.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 3 (- 1 \cdot 1)$

Étape 18.2.4

Multipliez $3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 18.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 3 \cdot - 1$

Étape 18.2.4.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 3$

Étape 18.2.5

La réponse finale est $- 3$ .

$y = - 3$

Étape 19

Ce sont les extrema locaux pour $f (θ) = 3 \cos (2 θ)$ .

$(0, 3)$ est un maximum local

$(\frac{π}{2}, - 3)$ est un minimum local

Étape 20