Trigonométrie Exemples

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 5 \\ c = \\ a = & 4 \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = \\ C = & 90 \end{matrix} \end{matrix}$

Étape 1

Déterminez le dernier côté du triangle en utilisant le théorème de Pythagore.

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Étape 1.1

Utilisez le théorème de Pythagore pour déterminer le côté inconnu. Dans tout triangle rectangle, l’aire du carré dont le côté est l’hypoténuse (le côté d’un triangle rectangle opposé à l’angle droit) est égale à la somme des aires des carrés dont les côtés sont les deux jambes (les deux autres côtés que l’hypoténuse).

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Étape 1.2

Résolvez l’équation pour $c$ .

$c = \sqrt{b^{2} + a^{2}}$

Étape 1.3

Remplacez les valeurs réelles dans l’équation.

$c = \sqrt{{(5)}^{2} + {(4)}^{2}}$

Étape 1.4

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$c = \sqrt{25 + {(4)}^{2}}$

Étape 1.5

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$c = \sqrt{25 + 16}$

Étape 1.6

Additionnez $25$ et $16$ .

$c = \sqrt{41}$

Étape 2

Déterminez $B$ .

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Étape 2.1

L’angle $B$ peut être déterminé à l’aide de la fonction sinus inverse.

$B = \arcsin (\frac{opp}{hyp})$

Étape 2.2

Remplacez les valeurs du côté opposé à l’angle $B$ et à l’hypoténuse $\sqrt{41}$ du triangle.

$B = \arcsin (\frac{5}{\sqrt{41}})$

Étape 2.3

Multipliez $\frac{5}{\sqrt{41}}$ par $\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}}$ .

$B = \arcsin (\frac{5}{\sqrt{41}} \cdot \frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}})$

Étape 2.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.4.1

Multipliez $\frac{5}{\sqrt{41}}$ par $\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}}$ .

$B = \arcsin (\frac{5 \sqrt{41}}{\sqrt{41} \sqrt{41}})$

Étape 2.4.2

Élevez $\sqrt{41}$ à la puissance $1$ .

$B = \arcsin (\frac{5 \sqrt{41}}{\sqrt{41} \sqrt{41}})$

Étape 2.4.3

Élevez $\sqrt{41}$ à la puissance $1$ .

$B = \arcsin (\frac{5 \sqrt{41}}{\sqrt{41} \sqrt{41}})$

Étape 2.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$B = \arcsin (\frac{5 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{1 + 1}})$

Étape 2.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$B = \arcsin (\frac{5 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{2}})$

Étape 2.4.6

Réécrivez ${\sqrt{41}}^{2}$ comme $41$ .

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Étape 2.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{41}$ comme $41^{\frac{1}{2}}$ .

$B = \arcsin (\frac{5 \sqrt{41}}{{(41^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 2.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$B = \arcsin (\frac{5 \sqrt{41}}{41^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 2.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$B = \arcsin (\frac{5 \sqrt{41}}{41^{\frac{2}{2}}})$

Étape 2.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$B = \arcsin (\frac{5 \sqrt{41}}{41^{\frac{2}{2}}})$

Étape 2.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$B = \arcsin (\frac{5 \sqrt{41}}{41})$

Étape 2.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$B = \arcsin (\frac{5 \sqrt{41}}{41})$

Étape 2.5

Évaluez $\arcsin (\frac{5 \sqrt{41}}{41})$ .

$B = 51.34019174$

Étape 3

Déterminez le dernier angle du triangle.

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Étape 3.1

La somme de tous les angles dans un triangle est $180$ degrés.

$A + 90 + 51.34019174 = 180$

Étape 3.2

Résolvez l’équation pour $A$ .

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Étape 3.2.1

Additionnez $90$ et $51.34019174$ .

$A + 141.34019174 = 180$

Étape 3.2.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $A$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.2.2.1

Soustrayez $141.34019174$ des deux côtés de l’équation.

$A = 180 - 141.34019174$

Étape 3.2.2.2

Soustrayez $141.34019174$ de $180$ .

$A = 38.65980825$

Étape 4

Ce sont les résultats pour tous les angles et côtés du triangle donné.

$A = 38.65980825$

$B = 51.34019174$

$C = 90$

$a = 4$

$b = 5$

$c = \sqrt{41}$