Trigonométrie Exemples

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = \\ c = & 12 \\ a = \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 30 ° \\ B = & 60 ° \\ C = & 90 ° \end{matrix} \end{matrix}$

Étape 1

La loi des sinus repose sur la proportionnalité des côtés et des angles dans les triangles. Cette loi indique que pour les angles d’un triangle non rectangle, chaque angle du triangle a le même rapport de la mesure de l’angle sur la valeur du sinus.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 2

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $a$ .

$\frac{\sin (30 °)}{a} = \frac{\sin (90 °)}{12}$

Étape 3

Résolvez l’équation pour $a$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Factorisez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

La valeur exacte de $\sin (30 °)$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{a} = \frac{\sin (90 °)}{12}$

Étape 3.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{a} = \frac{\sin (90 °)}{12}$

Étape 3.1.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{a}$ .

$\frac{1}{2 a} = \frac{\sin (90 °)}{12}$

Étape 3.1.4

La valeur exacte de $\sin (90 °)$ est $1$ .

$\frac{1}{2 a} = \frac{1}{12}$

Étape 3.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$2 a, 12$

Étape 3.2.2

Comme $2 a, 12$ contient des nombres et des variables, deux étapes sont nécessaires pour déterminer le plus petit multiple commun. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique $2, 12$ puis déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable $a^{1}$ .

Étape 3.2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 3.2.4

$2$ n’a pas de facteur hormis $1$ et $2$ .

$2$ est un nombre premier

Étape 3.2.5

Les facteurs premiers pour $12$ sont $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

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Étape 3.2.5.1

$12$ a des facteurs de $2$ et $6$ .

$2 \cdot 6$

Étape 3.2.5.2

$6$ a des facteurs de $2$ et $3$ .

$2 \cdot 2 \cdot 3$

Étape 3.2.6

Multipliez $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

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Étape 3.2.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 \cdot 3$

Étape 3.2.6.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$12$

Étape 3.2.7

Le facteur pour $a^{1}$ est $a$ lui-même.

$a^{1} = a$

$a$ se produit $1$ fois.

Étape 3.2.8

Le plus petit multiple commun de $a^{1}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$a$

Étape 3.2.9

Le plus petit multiple commun pour $2 a, 12$ est la partie numérique $12$ multipliée par la partie variable.

$12 a$

Étape 3.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{2 a} = \frac{1}{12}$ par $12 a$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{2 a} = \frac{1}{12}$ par $12 a$ .

$\frac{1}{2 a} (12 a) = \frac{1}{12} (12 a)$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$12 \frac{1}{2 a} a = \frac{1}{12} (12 a)$

Étape 3.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$2 (6) \frac{1}{2 a} a = \frac{1}{12} (12 a)$

Étape 3.3.2.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2 a$ .

$2 (6) \frac{1}{2 (a)} a = \frac{1}{12} (12 a)$

Étape 3.3.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 6 \frac{1}{2 a} a = \frac{1}{12} (12 a)$

Étape 3.3.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$6 \frac{1}{a} a = \frac{1}{12} (12 a)$

Étape 3.3.2.3

Associez $6$ et $\frac{1}{a}$ .

$\frac{6}{a} a = \frac{1}{12} (12 a)$

Étape 3.3.2.4

Annulez le facteur commun de $a$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6}{a} a = \frac{1}{12} (12 a)$

Étape 3.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$6 = \frac{1}{12} (12 a)$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1.1

Factorisez $12$ à partir de $12 a$ .

$6 = \frac{1}{12} (12 (a))$

Étape 3.3.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$6 = \frac{1}{12} (12 a)$

Étape 3.3.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$6 = a$

Étape 3.4

Réécrivez l’équation comme $a = 6$ .

$a = 6$

Étape 4

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 5

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $b$ .

$\frac{\sin (60 °)}{b} = \frac{\sin (30 °)}{6}$

Étape 6

Résolvez l’équation pour $b$ .

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Étape 6.1

Factorisez chaque terme.

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Étape 6.1.1

La valeur exacte de $\sin (60 °)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{b} = \frac{\sin (30 °)}{6}$

Étape 6.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{b} = \frac{\sin (30 °)}{6}$

Étape 6.1.3

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $\frac{1}{b}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{\sin (30 °)}{6}$

Étape 6.1.4

La valeur exacte de $\sin (30 °)$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{\frac{1}{2}}{6}$

Étape 6.1.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6}$

Étape 6.1.6

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6}$ .

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Étape 6.1.6.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{6}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{2 \cdot 6}$

Étape 6.1.6.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{12}$

Étape 6.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$2 b, 12$

Étape 6.2.2

Comme $2 b, 12$ contient des nombres et des variables, deux étapes sont nécessaires pour déterminer le plus petit multiple commun. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique $2, 12$ puis déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable $b^{1}$ .

Étape 6.2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 6.2.4

$2$ n’a pas de facteur hormis $1$ et $2$ .

$2$ est un nombre premier

Étape 6.2.5

Les facteurs premiers pour $12$ sont $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

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Étape 6.2.5.1

$12$ a des facteurs de $2$ et $6$ .

$2 \cdot 6$

Étape 6.2.5.2

$6$ a des facteurs de $2$ et $3$ .

$2 \cdot 2 \cdot 3$

Étape 6.2.6

Multipliez $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 \cdot 3$

Étape 6.2.6.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$12$

Étape 6.2.7

Le facteur pour $b^{1}$ est $b$ lui-même.

$b^{1} = b$

$b$ se produit $1$ fois.

Étape 6.2.8

Le plus petit multiple commun de $b^{1}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$b$

Étape 6.2.9

Le plus petit multiple commun pour $2 b, 12$ est la partie numérique $12$ multipliée par la partie variable.

$12 b$

Étape 6.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{12}$ par $12 b$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{12}$ par $12 b$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} (12 b) = \frac{1}{12} (12 b)$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$12 \frac{\sqrt{3}}{2 b} b = \frac{1}{12} (12 b)$

Étape 6.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$2 (6) \frac{\sqrt{3}}{2 b} b = \frac{1}{12} (12 b)$

Étape 6.3.2.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2 b$ .

$2 (6) \frac{\sqrt{3}}{2 (b)} b = \frac{1}{12} (12 b)$

Étape 6.3.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 6 \frac{\sqrt{3}}{2 b} b = \frac{1}{12} (12 b)$

Étape 6.3.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$6 \frac{\sqrt{3}}{b} b = \frac{1}{12} (12 b)$

Étape 6.3.2.3

Associez $6$ et $\frac{\sqrt{3}}{b}$ .

$\frac{6 \sqrt{3}}{b} b = \frac{1}{12} (12 b)$

Étape 6.3.2.4

Annulez le facteur commun de $b$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 \sqrt{3}}{b} b = \frac{1}{12} (12 b)$

Étape 6.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$6 \sqrt{3} = \frac{1}{12} (12 b)$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.1.1

Factorisez $12$ à partir de $12 b$ .

$6 \sqrt{3} = \frac{1}{12} (12 (b))$

Étape 6.3.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$6 \sqrt{3} = \frac{1}{12} (12 b)$

Étape 6.3.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$6 \sqrt{3} = b$

Étape 6.4

Réécrivez l’équation comme $b = 6 \sqrt{3}$ .

$b = 6 \sqrt{3}$

Étape 7

Ce sont les résultats pour tous les angles et côtés du triangle donné.

$A = 30 °$

$B = 60 °$

$C = 90 °$

$a = 6$

$b = 6 \sqrt{3}$

$c = 12$