Trigonométrie Exemples

$g (x) = 4 \cos (2 x - π) - 2$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 \cos (2 x - π) - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 \cos (2 x - π)] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \cos (2 x - π)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 \cos (2 x - π)]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 \cos (2 x - π)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\cos (2 x - π)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\cos (2 x - π)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x - π$ .

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Étape 1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x - π$ .

$4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x - π]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.2.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x - π]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x - π$ .

$4 (- \sin (2 x - π) \frac{d}{d x} [2 x - π]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - π$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$4 (- \sin (2 x - π) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π])) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.2.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (- \sin (2 x - π) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π])) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 (- \sin (2 x - π) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- π])) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.2.6

Comme $- π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- π$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 (- \sin (2 x - π) (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.2.7

Multipliez $2$ par $1$ .

$4 (- \sin (2 x - π) (2 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.2.8

Additionnez $2$ et $0$ .

$4 (- \sin (2 x - π) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.2.9

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4 (- 2 \sin (2 x - π)) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.2.10

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$- 8 \sin (2 x - π) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 8 \sin (2 x - π) + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $- 8 \sin (2 x - π)$ et $0$ .

$- 8 \sin (2 x - π)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 \sin (2 x - π)$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [\sin (2 x - π)]$ .

$g'' (x) = - 8 \frac{d}{d x} \sin (2 x - π)$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x - π$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x - π$ .

$g'' (x) = - 8 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x - π))$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$g'' (x) = - 8 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x - π))$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x - π$ .

$g'' (x) = - 8 (\cos (2 x - π) \frac{d}{d x} (2 x - π))$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - π$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$g'' (x) = - 8 \cos (2 x - π) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- π))$

Étape 2.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$g'' (x) = - 8 \cos (2 x - π) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- π))$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$g'' (x) = - 8 \cos (2 x - π) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- π))$

Étape 2.3.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$g'' (x) = - 8 \cos (2 x - π) (2 + \frac{d}{d x} (- π))$

Étape 2.3.5

Comme $- π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- π$ par rapport à $x$ est $0$ .

$g'' (x) = - 8 \cos (2 x - π) (2 + 0)$

Étape 2.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.6.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$g'' (x) = - 8 \cos (2 x - π) \cdot 2$

Étape 2.3.6.2

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$g'' (x) = - 16 \cos (2 x - π)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 8 \sin (2 x - π) = 0$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $- 8 \sin (2 x - π) = 0$ par $- 8$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $- 8 \sin (2 x - π) = 0$ par $- 8$ .

$\frac{- 8 \sin (2 x - π)}{- 8} = \frac{0}{- 8}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 8$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 8 \sin (2 x - π)}{- 8} = \frac{0}{- 8}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $\sin (2 x - π)$ par $1$ .

$\sin (2 x - π) = \frac{0}{- 8}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Divisez $0$ par $- 8$ .

$\sin (2 x - π) = 0$

Étape 5

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$2 x - π = \arcsin (0)$

Étape 6

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$2 x - π = 0$

Étape 7

Ajoutez $π$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = π$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $2 x = π$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $2 x = π$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 9

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$2 x - π = π - 0$

Étape 10

Résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Soustrayez $0$ de $π$ .

$2 x - π = π$

Étape 10.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 10.2.1

Ajoutez $π$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = π + π$

Étape 10.2.2

Additionnez $π$ et $π$ .

$2 x = 2 π$

Étape 10.3

Divisez chaque terme dans $2 x = 2 π$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 10.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 2 π$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2}$

Étape 10.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2}$

Étape 10.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2 π}{2}$

Étape 10.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.3.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 π}{2}$

Étape 10.3.3.1.2

Divisez $π$ par $1$ .

$x = π$

Étape 11

La solution de l’équation est $2 x - π = 0$ .

$x = \frac{π}{2}, π$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{π}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 16 \cos (2 (\frac{π}{2}) - π)$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.1.1

Annulez le facteur commun.

$- 16 \cos (2 \frac{π}{2} - π)$

Étape 13.1.2

Réécrivez l’expression.

$- 16 \cos (π - π)$

Étape 13.2

Soustrayez $π$ de $π$ .

$- 16 \cos (0)$

Étape 13.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- 16 \cdot 1$

Étape 13.4

Multipliez $- 16$ par $1$ .

$- 16$

Étape 14

$x = \frac{π}{2}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{π}{2}$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{π}{2}$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{2}$ dans l’expression.

$g (\frac{π}{2}) = 4 \cos (2 (\frac{π}{2}) - π) - 2$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$g (\frac{π}{2}) = 4 \cos (2 (\frac{π}{2}) - π) - 2$

Étape 15.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$g (\frac{π}{2}) = 4 \cos (π - π) - 2$

Étape 15.2.1.2

Soustrayez $π$ de $π$ .

$g (\frac{π}{2}) = 4 \cos (0) - 2$

Étape 15.2.1.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$g (\frac{π}{2}) = 4 \cdot 1 - 2$

Étape 15.2.1.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$g (\frac{π}{2}) = 4 - 2$

Étape 15.2.2

Soustrayez $2$ de $4$ .

$g (\frac{π}{2}) = 2$

Étape 15.2.3

La réponse finale est $2$ .

$y = 2$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde sur $x = π$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 16 \cos (2 (π) - π)$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 17.1

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$- 16 \cos (π)$

Étape 17.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$- 16 (- \cos (0))$

Étape 17.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- 16 (- 1 \cdot 1)$

Étape 17.4

Multipliez $- 16 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 17.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 16 \cdot - 1$

Étape 17.4.2

Multipliez $- 16$ par $- 1$ .

$16$

Étape 18

$x = π$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = π$ est un minimum local

Étape 19

Déterminez la valeur y quand $x = π$ .

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Étape 19.1

Remplacez la variable $x$ par $π$ dans l’expression.

$g (π) = 4 \cos (2 (π) - π) - 2$

Étape 19.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 19.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.2.1.1

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$g (π) = 4 \cos (π) - 2$

Étape 19.2.1.2

$g (π) = 4 (- \cos (0)) - 2$

Étape 19.2.1.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$g (π) = 4 (- 1 \cdot 1) - 2$

Étape 19.2.1.4

Multipliez $4 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 19.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$g (π) = 4 \cdot - 1 - 2$

Étape 19.2.1.4.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$g (π) = - 4 - 2$

Étape 19.2.2

Soustrayez $2$ de $- 4$ .

$g (π) = - 6$

Étape 19.2.3

La réponse finale est $- 6$ .

$y = - 6$

Étape 20

Ce sont les extrema locaux pour $g (x) = 4 \cos (2 x - π) - 2$ .

$(\frac{π}{2}, 2)$ est un maximum local

$(π, - 6)$ est un minimum local

Étape 21