Trigonométrie Exemples

$a = 11$ , $b = 12$ , $c = 17$

Étape 1

Utilisez la loi des cosinus pour déterminer le côté inconnu du triangle, à partir des deux autres côtés et de l’angle inclus.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Étape 2

Résolvez l’équation.

$A = \arccos (\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c})$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$A = \arccos (\frac{{(12)}^{2} + {(17)}^{2} - {(11)}^{2}}{2 (12) (17)})$

Étape 4

Simplifiez les résultats.

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$A = \arccos (\frac{144 + 17^{2} - 11^{2}}{2 (12) \cdot 17})$

Étape 4.1.2

Élevez $17$ à la puissance $2$ .

$A = \arccos (\frac{144 + 289 - 11^{2}}{2 (12) \cdot 17})$

Étape 4.1.3

Élevez $11$ à la puissance $2$ .

$A = \arccos (\frac{144 + 289 - 1 \cdot 121}{2 (12) \cdot 17})$

Étape 4.1.4

Multipliez $- 1$ par $121$ .

$A = \arccos (\frac{144 + 289 - 121}{2 (12) \cdot 17})$

Étape 4.1.5

Additionnez $144$ et $289$ .

$A = \arccos (\frac{433 - 121}{2 (12) \cdot 17})$

Étape 4.1.6

Soustrayez $121$ de $433$ .

$A = \arccos (\frac{312}{2 (12) \cdot 17})$

Étape 4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1

Multipliez $2$ par $12$ .

$A = \arccos (\frac{312}{24 \cdot 17})$

Étape 4.2.2

Multipliez $24$ par $17$ .

$A = \arccos (\frac{312}{408})$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun à $312$ et $408$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $24$ à partir de $312$ .

$A = \arccos (\frac{24 (13)}{408})$

Étape 4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $24$ à partir de $408$ .

$A = \arccos (\frac{24 \cdot 13}{24 \cdot 17})$

Étape 4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$A = \arccos (\frac{24 \cdot 13}{24 \cdot 17})$

Étape 4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$A = \arccos (\frac{13}{17})$

Étape 4.4

Évaluez $\arccos (\frac{13}{17})$ .

$A = 40.11916689$

Étape 5

Utilisez la loi des cosinus pour déterminer le côté inconnu du triangle, à partir des deux autres côtés et de l’angle inclus.

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

Étape 6

Résolvez l’équation.

$B = \arccos (\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c})$

Étape 7

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$B = \arccos (\frac{{(11)}^{2} + {(17)}^{2} - {(12)}^{2}}{2 (11) (17)})$

Étape 8

Simplifiez les résultats.

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Élevez $11$ à la puissance $2$ .

$B = \arccos (\frac{121 + 17^{2} - 12^{2}}{2 (11) \cdot 17})$

Étape 8.1.2

Élevez $17$ à la puissance $2$ .

$B = \arccos (\frac{121 + 289 - 12^{2}}{2 (11) \cdot 17})$

Étape 8.1.3

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$B = \arccos (\frac{121 + 289 - 1 \cdot 144}{2 (11) \cdot 17})$

Étape 8.1.4

Multipliez $- 1$ par $144$ .

$B = \arccos (\frac{121 + 289 - 144}{2 (11) \cdot 17})$

Étape 8.1.5

Additionnez $121$ et $289$ .

$B = \arccos (\frac{410 - 144}{2 (11) \cdot 17})$

Étape 8.1.6

Soustrayez $144$ de $410$ .

$B = \arccos (\frac{266}{2 (11) \cdot 17})$

Étape 8.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.1

Multipliez $2$ par $11$ .

$B = \arccos (\frac{266}{22 \cdot 17})$

Étape 8.2.2

Multipliez $22$ par $17$ .

$B = \arccos (\frac{266}{374})$

Étape 8.3

Annulez le facteur commun à $266$ et $374$ .

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Étape 8.3.1

Factorisez $2$ à partir de $266$ .

$B = \arccos (\frac{2 (133)}{374})$

Étape 8.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $374$ .

$B = \arccos (\frac{2 \cdot 133}{2 \cdot 187})$

Étape 8.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$B = \arccos (\frac{2 \cdot 133}{2 \cdot 187})$

Étape 8.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$B = \arccos (\frac{133}{187})$

Étape 8.4

Évaluez $\arccos (\frac{133}{187})$ .

$B = 44.66492453$

Étape 9

La somme de tous les angles dans un triangle est $180$ degrés.

$40.11916689 + C + 44.66492453 = 180$

Étape 10

Résolvez l’équation pour $C$ .

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Étape 10.1

Additionnez $40.11916689$ et $44.66492453$ .

$C + 84.78409142 = 180$

Étape 10.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 10.2.1

Soustrayez $84.78409142$ des deux côtés de l’équation.

$C = 180 - 84.78409142$

Étape 10.2.2

Soustrayez $84.78409142$ de $180$ .

$C = 95.21590857$

Étape 11

Ce sont les résultats pour tous les angles et côtés du triangle donné.

$A = 40.11916689$

$B = 44.66492453$

$C = 95.21590857$

$a = 11$

$b = 12$

$c = 17$