Trigonométrie Exemples

$9 = 2 y - y^{2} - 6 x - x^{2}$

Étape 1

Comme $y$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$2 y - y^{2} - 6 x - x^{2} = 9$

Étape 2

Divisez les deux côtés de l’équation par $- 1$ .

$- 2 y + y^{2} + 6 x + x^{2} = - 9$

Étape 3

Complétez le carré pour $- 2 y + y^{2}$ .

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Étape 3.1

Remettez dans l’ordre $- 2 y$ et $y^{2}$ .

$y^{2} - 2 y$

Étape 3.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - 2$

$c = 0$

Étape 3.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 3.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 3.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 3.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Étape 3.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 1}{1}$

Étape 3.4.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$d = - 1$

Étape 3.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 3.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Étape 3.5.2.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.5.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Étape 3.5.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Étape 3.5.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e = 0 - 1$

Étape 3.5.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$e = - 1$

Étape 3.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(y - 1)}^{2} - 1$ .

${(y - 1)}^{2} - 1$

Étape 4

Remplacez $- 2 y + y^{2}$ par ${(y - 1)}^{2} - 1$ dans l’équation $- 2 y + y^{2} + 6 x + x^{2} = - 9$ .

${(y - 1)}^{2} - 1 + 6 x + x^{2} = - 9$

Étape 5

Déplacez $- 1$ du côté droit de l’équation en ajoutant $1$ des deux côtés.

${(y - 1)}^{2} + 6 x + x^{2} = - 9 + 1$

Étape 6

Complétez le carré pour $6 x + x^{2}$ .

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Étape 6.1

Remettez dans l’ordre $6 x$ et $x^{2}$ .

$x^{2} + 6 x$

Étape 6.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = 6$

$c = 0$

Étape 6.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 6.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 6.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{6}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 6.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.4.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)}$

Étape 6.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{3}{1}$

Étape 6.4.2.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$d = 3$

Étape 6.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 6.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{6^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 6.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.5.2.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 1}$

Étape 6.5.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{36}{4}$

Étape 6.5.2.1.3

Divisez $36$ par $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Étape 6.5.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$e = 0 - 9$

Étape 6.5.2.2

Soustrayez $9$ de $0$ .

$e = - 9$

Étape 6.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(x + 3)}^{2} - 9$ .

${(x + 3)}^{2} - 9$

Étape 7

Remplacez $6 x + x^{2}$ par ${(x + 3)}^{2} - 9$ dans l’équation $- 2 y + y^{2} + 6 x + x^{2} = - 9$ .

${(y - 1)}^{2} + {(x + 3)}^{2} - 9 = - 9 + 1$

Étape 8

Déplacez $- 9$ du côté droit de l’équation en ajoutant $9$ des deux côtés.

${(y - 1)}^{2} + {(x + 3)}^{2} = - 9 + 1 + 9$

Étape 9

Simplifiez $- 9 + 1 + 9$ .

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Étape 9.1

Additionnez $- 9$ et $1$ .

${(y - 1)}^{2} + {(x + 3)}^{2} = - 8 + 9$

Étape 9.2

Additionnez $- 8$ et $9$ .

${(y - 1)}^{2} + {(x + 3)}^{2} = 1$

Étape 10

Remettez les termes dans l’ordre.

${(x + 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$

Étape 11

C’est la forme d’un cercle. Utilisez cette forme pour déterminer le centre et le rayon du cercle.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Étape 12

Faites correspondre les valeurs dans ce cercle avec celles de la forme normalisée. La variable $r$ représente le rayon du cercle, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$r = 1$

$h = - 3$

$k = 1$

Étape 13

Le centre du cercle se trouve sur $(h, k)$ .

Centre : $(- 3, 1)$

Étape 14

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser un cercle.

Centre : $(- 3, 1)$

Rayon : $1$

Étape 15