Trigonométrie Exemples

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 5 \\ c = & 8 \\ a = & 7 \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

Étape 1

Utilisez la loi des cosinus pour déterminer le côté inconnu du triangle, à partir des deux autres côtés et de l’angle inclus.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Étape 2

Résolvez l’équation.

$A = \arccos (\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c})$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$A = \arccos (\frac{{(5)}^{2} + {(8)}^{2} - {(7)}^{2}}{2 (5) (8)})$

Étape 4

Simplifiez les résultats.

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$A = \arccos (\frac{25 + 8^{2} - 7^{2}}{2 (5) \cdot 8})$

Étape 4.1.2

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$A = \arccos (\frac{25 + 64 - 7^{2}}{2 (5) \cdot 8})$

Étape 4.1.3

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$A = \arccos (\frac{25 + 64 - 1 \cdot 49}{2 (5) \cdot 8})$

Étape 4.1.4

Multipliez $- 1$ par $49$ .

$A = \arccos (\frac{25 + 64 - 49}{2 (5) \cdot 8})$

Étape 4.1.5

Additionnez $25$ et $64$ .

$A = \arccos (\frac{89 - 49}{2 (5) \cdot 8})$

Étape 4.1.6

Soustrayez $49$ de $89$ .

$A = \arccos (\frac{40}{2 (5) \cdot 8})$

Étape 4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$A = \arccos (\frac{40}{10 \cdot 8})$

Étape 4.2.2

Multipliez $10$ par $8$ .

$A = \arccos (\frac{40}{80})$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun à $40$ et $80$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $40$ à partir de $40$ .

$A = \arccos (\frac{40 (1)}{80})$

Étape 4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $40$ à partir de $80$ .

$A = \arccos (\frac{40 \cdot 1}{40 \cdot 2})$

Étape 4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$A = \arccos (\frac{40 \cdot 1}{40 \cdot 2})$

Étape 4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$A = \arccos (\frac{1}{2})$

Étape 4.4

La valeur exacte de $\arccos (\frac{1}{2})$ est $60$ .

$A = 60$

Étape 5

Utilisez la loi des cosinus pour déterminer le côté inconnu du triangle, à partir des deux autres côtés et de l’angle inclus.

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

Étape 6

Résolvez l’équation.

$B = \arccos (\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c})$

Étape 7

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$B = \arccos (\frac{{(7)}^{2} + {(8)}^{2} - {(5)}^{2}}{2 (7) (8)})$

Étape 8

Simplifiez les résultats.

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$B = \arccos (\frac{49 + 8^{2} - 5^{2}}{2 (7) \cdot 8})$

Étape 8.1.2

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$B = \arccos (\frac{49 + 64 - 5^{2}}{2 (7) \cdot 8})$

Étape 8.1.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$B = \arccos (\frac{49 + 64 - 1 \cdot 25}{2 (7) \cdot 8})$

Étape 8.1.4

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$B = \arccos (\frac{49 + 64 - 25}{2 (7) \cdot 8})$

Étape 8.1.5

Additionnez $49$ et $64$ .

$B = \arccos (\frac{113 - 25}{2 (7) \cdot 8})$

Étape 8.1.6

Soustrayez $25$ de $113$ .

$B = \arccos (\frac{88}{2 (7) \cdot 8})$

Étape 8.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.1

Multipliez $2$ par $7$ .

$B = \arccos (\frac{88}{14 \cdot 8})$

Étape 8.2.2

Multipliez $14$ par $8$ .

$B = \arccos (\frac{88}{112})$

Étape 8.3

Annulez le facteur commun à $88$ et $112$ .

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Étape 8.3.1

Factorisez $8$ à partir de $88$ .

$B = \arccos (\frac{8 (11)}{112})$

Étape 8.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.2.1

Factorisez $8$ à partir de $112$ .

$B = \arccos (\frac{8 \cdot 11}{8 \cdot 14})$

Étape 8.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$B = \arccos (\frac{8 \cdot 11}{8 \cdot 14})$

Étape 8.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$B = \arccos (\frac{11}{14})$

Étape 8.4

Évaluez $\arccos (\frac{11}{14})$ .

$B = 38.2132107$

Étape 9

La somme de tous les angles dans un triangle est $180$ degrés.

$60 + C + 38.2132107 = 180$

Étape 10

Résolvez l’équation pour $C$ .

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Étape 10.1

Additionnez $60$ et $38.2132107$ .

$C + 98.2132107 = 180$

Étape 10.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 10.2.1

Soustrayez $98.2132107$ des deux côtés de l’équation.

$C = 180 - 98.2132107$

Étape 10.2.2

Soustrayez $98.2132107$ de $180$ .

$C = 81.78678929$

Étape 11

Ce sont les résultats pour tous les angles et côtés du triangle donné.

$A = 60$

$B = 38.2132107$

$C = 81.78678929$

$a = 7$

$b = 5$

$c = 8$