Trigonométrie Exemples

$x^{2} + y^{2} - 4 x + 12 y + 15 = 0$

Étape 1

Soustrayez $15$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + y^{2} - 4 x + 12 y = - 15$

Étape 2

Complétez le carré pour $x^{2} - 4 x$ .

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Étape 2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - 4$

$c = 0$

Étape 2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Étape 2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 2}{1}$

Étape 2.3.2.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$d = - 2$

Étape 2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun à ${(- 4)}^{2}$ et $4$ .

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Étape 2.4.2.1.1.1

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.1.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.1.1.4

Multipliez $4^{2}$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.1.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.1.1.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.4.2.1.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot 1$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Étape 2.4.2.1.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.1.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Étape 2.4.2.1.1.6.4

Divisez $4$ par $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Étape 2.4.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = 0 - 4$

Étape 2.4.2.2

Soustrayez $4$ de $0$ .

$e = - 4$

Étape 2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(x - 2)}^{2} - 4$ .

${(x - 2)}^{2} - 4$

Étape 3

Remplacez $x^{2} - 4 x$ par ${(x - 2)}^{2} - 4$ dans l’équation $x^{2} + y^{2} - 4 x + 12 y = - 15$ .

${(x - 2)}^{2} - 4 + y^{2} + 12 y = - 15$

Étape 4

Déplacez $- 4$ du côté droit de l’équation en ajoutant $4$ des deux côtés.

${(x - 2)}^{2} + y^{2} + 12 y = - 15 + 4$

Étape 5

Complétez le carré pour $y^{2} + 12 y$ .

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Étape 5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = 12$

$c = 0$

Étape 5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{12}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.2

Annulez le facteur commun à $12$ et $2$ .

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 (1)}$

Étape 5.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{6}{1}$

Étape 5.3.2.2.4

Divisez $6$ par $1$ .

$d = 6$

Étape 5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{12^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.2.1.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot 1}$

Étape 5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{144}{4}$

Étape 5.4.2.1.3

Divisez $144$ par $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 36$

Étape 5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $36$ .

$e = 0 - 36$

Étape 5.4.2.2

Soustrayez $36$ de $0$ .

$e = - 36$

Étape 5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(y + 6)}^{2} - 36$ .

${(y + 6)}^{2} - 36$

Étape 6

Remplacez $y^{2} + 12 y$ par ${(y + 6)}^{2} - 36$ dans l’équation $x^{2} + y^{2} - 4 x + 12 y = - 15$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y + 6)}^{2} - 36 = - 15 + 4$

Étape 7

Déplacez $- 36$ du côté droit de l’équation en ajoutant $36$ des deux côtés.

${(x - 2)}^{2} + {(y + 6)}^{2} = - 15 + 4 + 36$

Étape 8

Simplifiez $- 15 + 4 + 36$ .

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Étape 8.1

Additionnez $- 15$ et $4$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y + 6)}^{2} = - 11 + 36$

Étape 8.2

Additionnez $- 11$ et $36$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y + 6)}^{2} = 25$

Étape 9

C’est la forme d’un cercle. Utilisez cette forme pour déterminer le centre et le rayon du cercle.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Étape 10

Faites correspondre les valeurs dans ce cercle avec celles de la forme normalisée. La variable $r$ représente le rayon du cercle, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$r = 5$

$h = 2$

$k = - 6$

Étape 11

Le centre du cercle se trouve sur $(h, k)$ .

Centre : $(2, - 6)$

Étape 12

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser un cercle.

Centre : $(2, - 6)$

Rayon : $5$

Étape 13