Trigonométrie Exemples

$\cos (\frac{π}{2} t) = - \frac{1}{2}$

Étape 1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $t$ de l’intérieur du cosinus.

$\frac{π}{2} t = \arccos (- \frac{1}{2})$

Étape 2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Associez $\frac{π}{2}$ et $t$ .

$\frac{π t}{2} = \arccos (- \frac{1}{2})$

Étape 3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1

La valeur exacte de $\arccos (- \frac{1}{2})$ est $\frac{2 π}{3}$ .

$\frac{π t}{2} = \frac{2 π}{3}$

Étape 4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π t}{2} = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Étape 5

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Simplifiez $\frac{2}{π} \cdot \frac{π t}{2}$ .

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Étape 5.1.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π t}{2} = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Étape 5.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Étape 5.1.1.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1.2.1

Factorisez $π$ à partir de $π t$ .

$\frac{1}{π} (π (t)) = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Étape 5.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Étape 5.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Simplifiez $\frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun de $π$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1.1

Factorisez $π$ à partir de $2 π$ .

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 2}{3}$

Étape 5.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 2}{3}$

Étape 5.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$t = 2 (\frac{2}{3})$

Étape 5.2.1.2

Associez $2$ et $\frac{2}{3}$ .

$t = \frac{2 \cdot 2}{3}$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$t = \frac{4}{3}$

Étape 6

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$\frac{π t}{2} = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Étape 7

Résolvez $t$ .

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Étape 7.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π t}{2} = \frac{2}{π} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Étape 7.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Simplifiez $\frac{2}{π} \cdot \frac{π t}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π t}{2} = \frac{2}{π} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Étape 7.2.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{2}{π} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Étape 7.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 7.2.1.1.2.1

Factorisez $π$ à partir de $π t$ .

$\frac{1}{π} (π (t)) = \frac{2}{π} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Étape 7.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{2}{π} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Étape 7.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$t = \frac{2}{π} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.2.1

Simplifiez $\frac{2}{π} (2 π - \frac{2 π}{3})$ .

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Étape 7.2.2.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$t = \frac{2}{π} (2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3})$

Étape 7.2.2.1.2

Associez les fractions.

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Étape 7.2.2.1.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$t = \frac{2}{π} (\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3})$

Étape 7.2.2.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Étape 7.2.2.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.2.1.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{6 π - 2 π}{3}$

Étape 7.2.2.1.3.2

Soustrayez $2 π$ de $6 π$ .

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{4 π}{3}$

Étape 7.2.2.1.4

Simplifiez les termes.

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Étape 7.2.2.1.4.1

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 7.2.2.1.4.1.1

Factorisez $π$ à partir de $4 π$ .

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 4}{3}$

Étape 7.2.2.1.4.1.2

Annulez le facteur commun.

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 4}{3}$

Étape 7.2.2.1.4.1.3

Réécrivez l’expression.

$t = 2 (\frac{4}{3})$

Étape 7.2.2.1.4.2

Associez $2$ et $\frac{4}{3}$ .

$t = \frac{2 \cdot 4}{3}$

Étape 7.2.2.1.4.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$t = \frac{8}{3}$

Étape 8

Déterminez la période de $\cos (\frac{π}{2} t)$ .

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Étape 8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 8.2

Remplacez $b$ par $\frac{π}{2}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{2} |}$

Étape 8.3

$\frac{π}{2}$ est d’environ $1.57079632$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{π}{2}}$

Étape 8.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \frac{2}{π}$

Étape 8.5

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 8.5.1

Factorisez $π$ à partir de $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Étape 8.5.2

Annulez le facteur commun.

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Étape 8.5.3

Réécrivez l’expression.

$2 \cdot 2$

Étape 8.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$4$

Étape 9

La période de la fonction $\cos (\frac{π}{2} t)$ est $4$ si bien que les valeurs se répètent tous les $4$ radians dans les deux sens.

$t = \frac{4}{3} + 4 n, \frac{8}{3} + 4 n$ , pour tout entier $n$