Trigonométrie Exemples

${(y - 3)}^{2} = 20 (x + 1)$

Étape 1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1

Isolez $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1.1

Réécrivez l’équation comme $20 (x + 1) = {(y - 3)}^{2}$ .

$20 (x + 1) = {(y - 3)}^{2}$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $20 (x + 1) = {(y - 3)}^{2}$ par $20$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $20 (x + 1) = {(y - 3)}^{2}$ par $20$ .

$\frac{20 (x + 1)}{20} = \frac{{(y - 3)}^{2}}{20}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $20$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{20 (x + 1)}{20} = \frac{{(y - 3)}^{2}}{20}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Divisez $x + 1$ par $1$ .

$x + 1 = \frac{{(y - 3)}^{2}}{20}$

Étape 1.1.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = \frac{{(y - 3)}^{2}}{20} - 1$

Étape 1.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$x = \frac{1}{20} \cdot {(y - 3)}^{2} - 1$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $\frac{1}{20} \cdot {(y - 3)}^{2} - 1$ .

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Étape 1.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1.1

Réécrivez ${(y - 3)}^{2}$ comme $(y - 3) (y - 3)$ .

$\frac{1}{20} \cdot ((y - 3) (y - 3)) - 1$

Étape 1.2.1.1.2

Développez $(y - 3) (y - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{20} \cdot (y (y - 3) - 3 (y - 3)) - 1$

Étape 1.2.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{20} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 (y - 3)) - 1$

Étape 1.2.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{20} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3) - 1$

Étape 1.2.1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1.3.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{1}{20} \cdot (y^{2} + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3) - 1$

Étape 1.2.1.1.3.1.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $y$ .

$\frac{1}{20} \cdot (y^{2} - 3 \cdot y - 3 y - 3 \cdot - 3) - 1$

Étape 1.2.1.1.3.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$\frac{1}{20} \cdot (y^{2} - 3 y - 3 y + 9) - 1$

Étape 1.2.1.1.3.2

Soustrayez $3 y$ de $- 3 y$ .

$\frac{1}{20} \cdot (y^{2} - 6 y + 9) - 1$

Étape 1.2.1.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{20} y^{2} + \frac{1}{20} (- 6 y) + \frac{1}{20} \cdot 9 - 1$

Étape 1.2.1.1.5

Simplifiez

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Étape 1.2.1.1.5.1

Associez $\frac{1}{20}$ et $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{20} + \frac{1}{20} (- 6 y) + \frac{1}{20} \cdot 9 - 1$

Étape 1.2.1.1.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.1.1.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $20$ .

$\frac{y^{2}}{20} + \frac{1}{2 (10)} (- 6 y) + \frac{1}{20} \cdot 9 - 1$

Étape 1.2.1.1.5.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6 y$ .

$\frac{y^{2}}{20} + \frac{1}{2 (10)} (2 (- 3 y)) + \frac{1}{20} \cdot 9 - 1$

Étape 1.2.1.1.5.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2}}{20} + \frac{1}{2 \cdot 10} (2 (- 3 y)) + \frac{1}{20} \cdot 9 - 1$

Étape 1.2.1.1.5.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2}}{20} + \frac{1}{10} (- 3 y) + \frac{1}{20} \cdot 9 - 1$

Étape 1.2.1.1.5.3

Associez $- 3$ et $\frac{1}{10}$ .

$\frac{y^{2}}{20} + \frac{- 3}{10} y + \frac{1}{20} \cdot 9 - 1$

Étape 1.2.1.1.5.4

Associez $\frac{- 3}{10}$ et $y$ .

$\frac{y^{2}}{20} + \frac{- 3 y}{10} + \frac{1}{20} \cdot 9 - 1$

Étape 1.2.1.1.5.5

Associez $\frac{1}{20}$ et $9$ .

$\frac{y^{2}}{20} + \frac{- 3 y}{10} + \frac{9}{20} - 1$

Étape 1.2.1.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{y^{2}}{20} - \frac{3 y}{10} + \frac{9}{20} - 1$

Étape 1.2.1.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{20}{20}$ .

$\frac{y^{2}}{20} - \frac{3 y}{10} + \frac{9}{20} - 1 \cdot \frac{20}{20}$

Étape 1.2.1.3

Associez $- 1$ et $\frac{20}{20}$ .

$\frac{y^{2}}{20} - \frac{3 y}{10} + \frac{9}{20} + \frac{- 1 \cdot 20}{20}$

Étape 1.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{y^{2}}{20} - \frac{3 y}{10} + \frac{9 - 1 \cdot 20}{20}$

Étape 1.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $20$ .

$\frac{y^{2}}{20} - \frac{3 y}{10} + \frac{9 - 20}{20}$

Étape 1.2.1.5.2

Soustrayez $20$ de $9$ .

$\frac{y^{2}}{20} - \frac{3 y}{10} + \frac{- 11}{20}$

Étape 1.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{y^{2}}{20} - \frac{3 y}{10} - \frac{11}{20}$

Étape 1.2.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = \frac{1}{20}$

$b = - \frac{3}{10}$

$c = - \frac{11}{20}$

Étape 1.2.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{3}{10}}{2 (\frac{1}{20})}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = - \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{20})}$

Étape 1.2.4.2.2

Associez $2$ et $\frac{1}{20}$ .

$d = - \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{\frac{2}{20}}$

Étape 1.2.4.2.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $20$ .

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Étape 1.2.4.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$d = - \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{20}}$

Étape 1.2.4.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.4.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $20$ .

$d = - \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 10}}$

Étape 1.2.4.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = - \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 10}}$

Étape 1.2.4.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = - \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{\frac{1}{10}}$

Étape 1.2.4.2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = - \frac{3}{10} (1 \cdot 10)$

Étape 1.2.4.2.5

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 1.2.4.2.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{10}$ dans le numérateur.

$d = \frac{- 3}{10} (1 \cdot 10)$

Étape 1.2.4.2.5.2

Factorisez $10$ à partir de $1 \cdot 10$ .

$d = \frac{- 3}{10} (10 \cdot 1)$

Étape 1.2.4.2.5.3

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{- 3}{10} (10 \cdot 1)$

Étape 1.2.4.2.5.4

Réécrivez l’expression.

$d = - 3$

Étape 1.2.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{11}{20} - \frac{{(- \frac{3}{10})}^{2}}{4 (\frac{1}{20})}$

Étape 1.2.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.5.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{10}$ .

$e = - \frac{11}{20} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{10})}^{2}}{4 (\frac{1}{20})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = - \frac{11}{20} - \frac{1 {(\frac{3}{10})}^{2}}{4 (\frac{1}{20})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{10}$ .

$e = - \frac{11}{20} - \frac{1 \frac{3^{2}}{10^{2}}}{4 (\frac{1}{20})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$e = - \frac{11}{20} - \frac{1 \frac{9}{10^{2}}}{4 (\frac{1}{20})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.5

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$e = - \frac{11}{20} - \frac{1 (\frac{9}{100})}{4 (\frac{1}{20})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.6

Multipliez $\frac{9}{100}$ par $1$ .

$e = - \frac{11}{20} - \frac{\frac{9}{100}}{4 (\frac{1}{20})}$

Étape 1.2.5.2.1.2

Associez $4$ et $\frac{1}{20}$ .

$e = - \frac{11}{20} - \frac{\frac{9}{100}}{\frac{4}{20}}$

Étape 1.2.5.2.1.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $20$ .

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Étape 1.2.5.2.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$e = - \frac{11}{20} - \frac{\frac{9}{100}}{\frac{4 (1)}{20}}$

Étape 1.2.5.2.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.5.2.1.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$e = - \frac{11}{20} - \frac{\frac{9}{100}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 5}}$

Étape 1.2.5.2.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$e = - \frac{11}{20} - \frac{\frac{9}{100}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 5}}$

Étape 1.2.5.2.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$e = - \frac{11}{20} - \frac{\frac{9}{100}}{\frac{1}{5}}$

Étape 1.2.5.2.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = - \frac{11}{20} - (\frac{9}{100} \cdot 5)$

Étape 1.2.5.2.1.5

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 1.2.5.2.1.5.1

Factorisez $5$ à partir de $100$ .

$e = - \frac{11}{20} - (\frac{9}{5 (20)} \cdot 5)$

Étape 1.2.5.2.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$e = - \frac{11}{20} - (\frac{9}{5 \cdot 20} \cdot 5)$

Étape 1.2.5.2.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$e = - \frac{11}{20} - \frac{9}{20}$

Étape 1.2.5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{- 11 - 9}{20}$

Étape 1.2.5.2.3

Soustrayez $9$ de $- 11$ .

$e = \frac{- 20}{20}$

Étape 1.2.5.2.4

Divisez $- 20$ par $20$ .

$e = - 1$

Étape 1.2.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $\frac{1}{20} {(y - 3)}^{2} - 1$ .

$\frac{1}{20} {(y - 3)}^{2} - 1$

Étape 1.3

Définissez $x$ égal au nouveau côté droit.

$x = \frac{1}{20} \cdot {(y - 3)}^{2} - 1$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = \frac{1}{20}$

$h = - 1$

$k = 3$

Étape 3

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(- 1, 3)$

Étape 4

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 4.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 4.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{20}}$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Associez $4$ et $\frac{1}{20}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{20}}$

Étape 4.3.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $20$ .

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{\frac{4 (1)}{20}}$

Étape 4.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 5}}$

Étape 4.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 5}}$

Étape 4.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\frac{1}{5}}$

Étape 4.3.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 \cdot 5$

Étape 4.3.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$5$

Étape 5

Déterminez la directrice.

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Étape 5.1

La directrice d’une parabole est la droite verticale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée x $h$ du sommet si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$x = h - p$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $h$ dans la formule et simplifiez.

$x = - 6$

Étape 6