Trigonométrie Exemples

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\begin{matrix} Side & Angle \begin{matrix} b = c = & 9 a = \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 45 B = & 45 C = & 90 \end{matrix} \end{matrix}

$\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = \\ c = & 9 \\ a = \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 45 \\ B = & 45 \\ C = & 90 \end{matrix} \end{matrix}$

Étape 1

Déterminez

b

$b$ .

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Étape 1.1

Le cosinus d’un angle est égal au ratio du côté adjacent sur l’hypoténuse.

cos (A) = \frac{adj}{hyp}

$\cos (A) = \frac{adj}{hyp}$

Étape 1.2

Remplacez le nom de chaque côté dans la définition de la fonction cosinus.

cos (A) = \frac{b}{c}

$\cos (A) = \frac{b}{c}$

Étape 1.3

Définissez l’équation à résoudre pour le côté adjacent, dans ce cas

b

$b$ .

b = c \cdot cos (A)

$b = c \cdot \cos (A)$

Étape 1.4

Remplacez la valeur de chaque variable dans la formule pour le cosinus.

b = 9 \cdot cos (45)

$b = 9 \cdot \cos (45)$

Étape 1.5

Associez

9

$9$ et

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

b = \frac{9 \sqrt{2}}{2}

$b = \frac{9 \sqrt{2}}{2}$

b = \frac{9 \sqrt{2}}{2}

$b = \frac{9 \sqrt{2}}{2}$

Étape 2

Déterminez le dernier côté du triangle en utilisant le théorème de Pythagore.

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Étape 2.1

Utilisez le théorème de Pythagore pour déterminer le côté inconnu. Dans tout triangle rectangle, l’aire du carré dont le côté est l’hypoténuse (le côté d’un triangle rectangle opposé à l’angle droit) est égale à la somme des aires des carrés dont les côtés sont les deux jambes (les deux autres côtés que l’hypoténuse).

a^{2} + b^{2} = c^{2}

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Étape 2.2

Résolvez l’équation pour

a

$a$ .

a = \sqrt{c^{2} - b^{2}}

$a = \sqrt{c^{2} - b^{2}}$

Étape 2.3

Remplacez les valeurs réelles dans l’équation.

a = \sqrt{{(9)}^{2} - {(\frac{9 \sqrt{2}}{2})}^{2}}

$a = \sqrt{{(9)}^{2} - {(\frac{9 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 2.4

Élevez

9

$9$ à la puissance

2

$2$ .

a = \sqrt{81 - {(\frac{9 \sqrt{2}}{2})}^{2}}

$a = \sqrt{81 - {(\frac{9 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 2.5

Utilisez la règle de puissance

{(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.5.1

Appliquez la règle de produit à

\frac{9 \sqrt{2}}{2}

$\frac{9 \sqrt{2}}{2}$ .

a = \sqrt{81 - \frac{{(9 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}}}

$a = \sqrt{81 - \frac{{(9 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 2.5.2

Appliquez la règle de produit à

9 \sqrt{2}

$9 \sqrt{2}$ .

a = \sqrt{81 - \frac{9^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}

$a = \sqrt{81 - \frac{9^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

a = \sqrt{81 - \frac{9^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}

$a = \sqrt{81 - \frac{9^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Élevez

9

$9$ à la puissance

2

$2$ .

a = \sqrt{81 - \frac{81 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}

$a = \sqrt{81 - \frac{81 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 2.6.2

Réécrivez

{\sqrt{2}}^{2}

${\sqrt{2}}^{2}$ comme

2

$2$ .

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Étape 2.6.2.1

Utilisez

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ comme

2^{\frac{1}{2}}

$2^{\frac{1}{2}}$ .

a = \sqrt{81 - \frac{81 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}

$a = \sqrt{81 - \frac{81 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 2.6.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

a = \sqrt{81 - \frac{81 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}

$a = \sqrt{81 - \frac{81 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Étape 2.6.2.3

Associez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ et

2

$2$ .

a = \sqrt{81 - \frac{81 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}

$a = \sqrt{81 - \frac{81 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Étape 2.6.2.4

Annulez le facteur commun de

2

$2$ .

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Étape 2.6.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$a = \sqrt{81 - \frac{81 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Étape 2.6.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$a = \sqrt{81 - \frac{81 \cdot 2}{2^{2}}}$

Étape 2.6.2.5

Évaluez l’exposant.

$a = \sqrt{81 - \frac{81 \cdot 2}{2^{2}}}$

Étape 2.7

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.7.1

Élevez

$2$ à la puissance

$2$ .

$a = \sqrt{81 - \frac{81 \cdot 2}{4}}$

Étape 2.7.2

Multipliez

$81$ par

$2$ .

$a = \sqrt{81 - \frac{162}{4}}$

Étape 2.7.3

Annulez le facteur commun à

$162$ et

$4$ .

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Étape 2.7.3.1

Factorisez

$2$ à partir de

$162$ .

$a = \sqrt{81 - \frac{2 (81)}{4}}$

Étape 2.7.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.7.3.2.1

Factorisez

$2$ à partir de

$4$ .

$a = \sqrt{81 - \frac{2 \cdot 81}{2 \cdot 2}}$

Étape 2.7.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$a = \sqrt{81 - \frac{2 \cdot 81}{2 \cdot 2}}$

Étape 2.7.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$a = \sqrt{81 - \frac{81}{2}}$

Étape 2.8

Pour écrire

$81$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{2}{2}$ .

$a = \sqrt{81 \cdot \frac{2}{2} - \frac{81}{2}}$

Étape 2.9

Associez

$81$ et

$\frac{2}{2}$ .

$a = \sqrt{\frac{81 \cdot 2}{2} - \frac{81}{2}}$

Étape 2.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$a = \sqrt{\frac{81 \cdot 2 - 81}{2}}$

Étape 2.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.11.1

Multipliez

$81$ par

$2$ .

$a = \sqrt{\frac{162 - 81}{2}}$

Étape 2.11.2

Soustrayez

$81$ de

$162$ .

$a = \sqrt{\frac{81}{2}}$

Étape 2.12

Réécrivez

$\sqrt{\frac{81}{2}}$ comme

$\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{2}}$ .

$a = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{2}}$

Étape 2.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.13.1

Réécrivez

$81$ comme

$9^{2}$ .

$a = \frac{\sqrt{9^{2}}}{\sqrt{2}}$

Étape 2.13.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$a = \frac{9}{\sqrt{2}}$

Étape 2.14

Multipliez

$\frac{9}{\sqrt{2}}$ par

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$a = \frac{9}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 2.15

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.15.1

Multipliez

$\frac{9}{\sqrt{2}}$ par

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$a = \frac{9 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 2.15.2

Élevez

$\sqrt{2}$ à la puissance

$1$ .

$a = \frac{9 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 2.15.3

Élevez

$\sqrt{2}$ à la puissance

$1$ .

$a = \frac{9 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 2.15.4

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a = \frac{9 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 2.15.5

Additionnez

$1$ et

$1$ .

$a = \frac{9 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 2.15.6

Réécrivez

${\sqrt{2}}^{2}$ comme

$2$ .

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Étape 2.15.6.1

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt{2}$ comme

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$a = \frac{9 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.15.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a = \frac{9 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.15.6.3

Associez

$\frac{1}{2}$ et

$2$ .

$a = \frac{9 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.15.6.4

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 2.15.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$a = \frac{9 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.15.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$a = \frac{9 \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.15.6.5

Évaluez l’exposant.

$a = \frac{9 \sqrt{2}}{2}$

Étape 3

Ce sont les résultats pour tous les angles et côtés du triangle donné.

$A = 45$

$B = 45$

$C = 90$

$a = \frac{9 \sqrt{2}}{2}$

$b = \frac{9 \sqrt{2}}{2}$

$c = 9$