Trigonométrie Exemples

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 21 \\ c = & 29 \\ a = & 20 \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

Étape 1

Utilisez la loi des cosinus pour déterminer le côté inconnu du triangle, à partir des deux autres côtés et de l’angle inclus.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Étape 2

Résolvez l’équation.

$A = \arccos (\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c})$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$A = \arccos (\frac{{(21)}^{2} + {(29)}^{2} - {(20)}^{2}}{2 (21) (29)})$

Étape 4

Simplifiez les résultats.

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Élevez $21$ à la puissance $2$ .

$A = \arccos (\frac{441 + 29^{2} - 20^{2}}{2 (21) \cdot 29})$

Étape 4.1.2

Élevez $29$ à la puissance $2$ .

$A = \arccos (\frac{441 + 841 - 20^{2}}{2 (21) \cdot 29})$

Étape 4.1.3

Élevez $20$ à la puissance $2$ .

$A = \arccos (\frac{441 + 841 - 1 \cdot 400}{2 (21) \cdot 29})$

Étape 4.1.4

Multipliez $- 1$ par $400$ .

$A = \arccos (\frac{441 + 841 - 400}{2 (21) \cdot 29})$

Étape 4.1.5

Additionnez $441$ et $841$ .

$A = \arccos (\frac{1282 - 400}{2 (21) \cdot 29})$

Étape 4.1.6

Soustrayez $400$ de $1282$ .

$A = \arccos (\frac{882}{2 (21) \cdot 29})$

Étape 4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1

Multipliez $2$ par $21$ .

$A = \arccos (\frac{882}{42 \cdot 29})$

Étape 4.2.2

Multipliez $42$ par $29$ .

$A = \arccos (\frac{882}{1218})$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun à $882$ et $1218$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $42$ à partir de $882$ .

$A = \arccos (\frac{42 (21)}{1218})$

Étape 4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $42$ à partir de $1218$ .

$A = \arccos (\frac{42 \cdot 21}{42 \cdot 29})$

Étape 4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$A = \arccos (\frac{42 \cdot 21}{42 \cdot 29})$

Étape 4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$A = \arccos (\frac{21}{29})$

Étape 4.4

Évaluez $\arccos (\frac{21}{29})$ .

$A = 43.60281897$

Étape 5

Utilisez la loi des cosinus pour déterminer le côté inconnu du triangle, à partir des deux autres côtés et de l’angle inclus.

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

Étape 6

Résolvez l’équation.

$B = \arccos (\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c})$

Étape 7

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$B = \arccos (\frac{{(20)}^{2} + {(29)}^{2} - {(21)}^{2}}{2 (20) (29)})$

Étape 8

Simplifiez les résultats.

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Élevez $20$ à la puissance $2$ .

$B = \arccos (\frac{400 + 29^{2} - 21^{2}}{2 (20) \cdot 29})$

Étape 8.1.2

Élevez $29$ à la puissance $2$ .

$B = \arccos (\frac{400 + 841 - 21^{2}}{2 (20) \cdot 29})$

Étape 8.1.3

Élevez $21$ à la puissance $2$ .

$B = \arccos (\frac{400 + 841 - 1 \cdot 441}{2 (20) \cdot 29})$

Étape 8.1.4

Multipliez $- 1$ par $441$ .

$B = \arccos (\frac{400 + 841 - 441}{2 (20) \cdot 29})$

Étape 8.1.5

Additionnez $400$ et $841$ .

$B = \arccos (\frac{1241 - 441}{2 (20) \cdot 29})$

Étape 8.1.6

Soustrayez $441$ de $1241$ .

$B = \arccos (\frac{800}{2 (20) \cdot 29})$

Étape 8.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.1

Multipliez $2$ par $20$ .

$B = \arccos (\frac{800}{40 \cdot 29})$

Étape 8.2.2

Multipliez $40$ par $29$ .

$B = \arccos (\frac{800}{1160})$

Étape 8.3

Annulez le facteur commun à $800$ et $1160$ .

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Étape 8.3.1

Factorisez $40$ à partir de $800$ .

$B = \arccos (\frac{40 (20)}{1160})$

Étape 8.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.2.1

Factorisez $40$ à partir de $1160$ .

$B = \arccos (\frac{40 \cdot 20}{40 \cdot 29})$

Étape 8.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$B = \arccos (\frac{40 \cdot 20}{40 \cdot 29})$

Étape 8.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$B = \arccos (\frac{20}{29})$

Étape 8.4

Évaluez $\arccos (\frac{20}{29})$ .

$B = 46.39718102$

Étape 9

La somme de tous les angles dans un triangle est $180$ degrés.

$43.60281897 + C + 46.39718102 = 180$

Étape 10

Résolvez l’équation pour $C$ .

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Étape 10.1

Additionnez $43.60281897$ et $46.39718102$ .

$C + 90 = 180$

Étape 10.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 10.2.1

Soustrayez $90$ des deux côtés de l’équation.

$C = 180 - 90$

Étape 10.2.2

Soustrayez $90$ de $180$ .

$C = 90$

Étape 11

Ce sont les résultats pour tous les angles et côtés du triangle donné.

$A = 43.60281897$

$B = 46.39718102$

$C = 90$

$a = 20$

$b = 21$

$c = 29$