Trigonométrie Exemples

$(5 \sqrt{3}, 15)$

Étape 1

Convertissez de coordonnées rectangulaires $(x, y)$ en coordonnées polaires $(r, θ)$ à l’aide des formules de conversion.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 2

Remplacez $x$ et $y$ par les valeurs réelles.

$r = \sqrt{{(5 \sqrt{3})}^{2} + {(15)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3

Déterminez la valeur absolue de la coordonnée polaire.

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Étape 3.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle de produit à $5 \sqrt{3}$ .

$r = \sqrt{5^{2} {\sqrt{3}}^{2} + {(15)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.1.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$r = \sqrt{25 {\sqrt{3}}^{2} + {(15)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{25 {\sqrt{3}}^{2} + {(15)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \sqrt{25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(15)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(15)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$r = \sqrt{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(15)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$r = \sqrt{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(15)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$r = \sqrt{25 \cdot 3 + {(15)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{25 \cdot 3 + {(15)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.2.5

Évaluez l’exposant.

$r = \sqrt{25 \cdot 3 + {(15)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{25 \cdot 3 + {(15)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.1

Multipliez $25$ par $3$ .

$r = \sqrt{75 + {(15)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.3.2

Élevez $15$ à la puissance $2$ .

$r = \sqrt{75 + 225}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.3.3

Additionnez $75$ et $225$ .

$r = \sqrt{300}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{300}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.4

Réécrivez $300$ comme $10^{2} \cdot 3$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $100$ à partir de $300$ .

$r = \sqrt{100 (3)}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.4.2

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$r = \sqrt{10^{2} \cdot 3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{10^{2} \cdot 3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$r = 10 \sqrt{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 10 \sqrt{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 4

Remplacez $x$ et $y$ par les valeurs réelles.

$r = 10 \sqrt{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{15}{5 \sqrt{3}})$

Étape 5

La tangente inverse de $\sqrt{3}$ est $θ = 60 °$ .

$r = 10 \sqrt{3}$

$θ = 60 °$

Étape 6

C’est le résultat de la conversion en coordonnées polaires dans la forme $(r, θ)$ .

$(10 \sqrt{3}, 60 °)$