Trigonométrie Exemples

$(4, \frac{2 π}{3})$

Étape 1

Convertissez de coordonnées rectangulaires $(x, y)$ en coordonnées polaires $(r, θ)$ à l’aide des formules de conversion.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 2

Remplacez $x$ et $y$ par les valeurs réelles.

$r = \sqrt{{(4)}^{2} + {(\frac{2 π}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3

Déterminez la valeur absolue de la coordonnée polaire.

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Étape 3.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$r = \sqrt{16 + {(\frac{2 π}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.2

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2 π}{3}$ .

$r = \sqrt{16 + \frac{{(2 π)}^{2}}{3^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.2.2

Appliquez la règle de produit à $2 π$ .

$r = \sqrt{16 + \frac{2^{2} π^{2}}{3^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{16 + \frac{2^{2} π^{2}}{3^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$r = \sqrt{16 + \frac{4 π^{2}}{3^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$r = \sqrt{16 + \frac{4 π^{2}}{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.5

Pour écrire $16$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$r = \sqrt{16 \cdot \frac{9}{9} + \frac{4 π^{2}}{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.6

Associez $16$ et $\frac{9}{9}$ .

$r = \sqrt{\frac{16 \cdot 9}{9} + \frac{4 π^{2}}{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.7.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$r = \sqrt{\frac{16 \cdot 9 + 4 π^{2}}{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.7.2

Multipliez $16$ par $9$ .

$r = \sqrt{\frac{144 + 4 π^{2}}{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{144 + 4 π^{2}}{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.8

Réécrivez $\sqrt{\frac{144 + 4 π^{2}}{9}}$ comme $\frac{\sqrt{144 + 4 π^{2}}}{\sqrt{9}}$ .

$r = \frac{\sqrt{144 + 4 π^{2}}}{\sqrt{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.9.1

Réécrivez $144 + 4 π^{2}$ comme $2^{2} (36 + π^{2})$ .

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Étape 3.9.1.1

Factorisez $4$ à partir de $144$ .

$r = \frac{\sqrt{4 (36) + 4 π^{2}}}{\sqrt{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.9.1.2

Factorisez $4$ à partir de $4 π^{2}$ .

$r = \frac{\sqrt{4 (36) + 4 (π^{2})}}{\sqrt{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.9.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (36) + 4 (π^{2})$ .

$r = \frac{\sqrt{4 (36 + π^{2})}}{\sqrt{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.9.1.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$r = \frac{\sqrt{2^{2} (36 + π^{2})}}{\sqrt{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{2^{2} (36 + π^{2})}}{\sqrt{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.9.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$r = \frac{2 \sqrt{36 + π^{2}}}{\sqrt{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{2 \sqrt{36 + π^{2}}}{\sqrt{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.10

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.10.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$r = \frac{2 \sqrt{36 + π^{2}}}{\sqrt{3^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.10.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$r = \frac{2 \sqrt{36 + π^{2}}}{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{2 \sqrt{36 + π^{2}}}{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{2 \sqrt{36 + π^{2}}}{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 4

Remplacez $x$ et $y$ par les valeurs réelles.

$r = \frac{2 \sqrt{36 + π^{2}}}{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{\frac{2 π}{3}}{4})$

Étape 5

La tangente inverse de $\frac{π}{6}$ est $θ = 27.63649933 °$ .

$r = \frac{2 \sqrt{36 + π^{2}}}{3}$

$θ = 27.63649933 °$

Étape 6

C’est le résultat de la conversion en coordonnées polaires dans la forme $(r, θ)$ .

$(\frac{2 \sqrt{36 + π^{2}}}{3}, 27.63649933 °)$