Trigonométrie Exemples

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{7}}{4}$ , $\cos (θ) = \frac{3}{4}$

Étape 1

Pour déterminer la valeur de $\tan (θ)$ , utilisez le fait que $\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ puis remplacez dans les valeurs connues.

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{\frac{\sqrt{7}}{4}}{\frac{3}{4}}$

Étape 2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{\sqrt{7}}{4} \cdot \frac{4}{3}$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{\sqrt{7}}{4} \cdot \frac{4}{3}$

Étape 2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \sqrt{7} (\frac{1}{3})$

Étape 2.3

Associez $\sqrt{7}$ et $\frac{1}{3}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{\sqrt{7}}{3}$

Étape 3

Pour déterminer la valeur de $\cot (θ)$ , utilisez le fait que $\frac{1}{\tan (θ)}$ puis remplacez dans les valeurs connues.

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3}}$

Étape 4

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = 1 (\frac{3}{\sqrt{7}})$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{3}{\sqrt{7}}$ par $1$ .

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{3}{\sqrt{7}}$

Étape 4.3

Multipliez $\frac{3}{\sqrt{7}}$ par $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{3}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

Étape 4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.4.1

Multipliez $\frac{3}{\sqrt{7}}$ par $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{3 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Étape 4.4.2

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{3 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Étape 4.4.3

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{3 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Étape 4.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{3 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Étape 4.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{3 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Étape 4.4.6

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

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Étape 4.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{3 \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{3 \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{3 \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{3 \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{3 \sqrt{7}}{7}$

Étape 4.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{3 \sqrt{7}}{7}$

Étape 5

Pour déterminer la valeur de $\sec (θ)$ , utilisez le fait que $\frac{1}{\cos (θ)}$ puis remplacez dans les valeurs connues.

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{1}{\frac{3}{4}}$

Étape 6

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = 1 (\frac{4}{3})$

Étape 6.2

Multipliez $\frac{4}{3}$ par $1$ .

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{4}{3}$

Étape 7

Pour déterminer la valeur de $\csc (θ)$ , utilisez le fait que $\frac{1}{\sin (θ)}$ puis remplacez dans les valeurs connues.

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{4}}$

Étape 8

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = 1 (\frac{4}{\sqrt{7}})$

Étape 8.2

Multipliez $\frac{4}{\sqrt{7}}$ par $1$ .

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{4}{\sqrt{7}}$

Étape 8.3

Multipliez $\frac{4}{\sqrt{7}}$ par $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{4}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

Étape 8.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.4.1

Multipliez $\frac{4}{\sqrt{7}}$ par $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{4 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Étape 8.4.2

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{4 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Étape 8.4.3

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{4 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Étape 8.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{4 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Étape 8.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{4 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Étape 8.4.6

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

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Étape 8.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{4 \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 8.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{4 \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 8.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{4 \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{4 \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{4 \sqrt{7}}{7}$

Étape 8.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{4 \sqrt{7}}{7}$

Étape 9

Les fonctions trigonométriques trouvées sont les suivantes :

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{7}}{4}$

$\cos (θ) = \frac{3}{4}$

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{7}}{3}$

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{7}}{7}$

$\sec (θ) = \frac{4}{3}$

$\csc (θ) = \frac{4 \sqrt{7}}{7}$