Trigonométrie Exemples

$\sin (\tan^{-1} (u) + \sin^{-1} (v))$

Étape 1

Appliquez l’identité de somme d’angles.

$\sin (\tan^{-1} (u)) \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(1, u)$ , $(1, 0)$ , et l’origine. Alors $\tan^{-1} (u)$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(1, u)$ . Ainsi, $\sin (\tan^{-1} (u))$ est $\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Étape 2.1.2

Multipliez $\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Étape 2.1.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Multipliez $\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}} \sqrt{1 + u^{2}}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Étape 2.1.3.2

Élevez $\sqrt{1 + u^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} \sqrt{1 + u^{2}}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Étape 2.1.3.3

Élevez $\sqrt{1 + u^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + u^{2}}}^{1}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Étape 2.1.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1 + 1}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Étape 2.1.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Étape 2.1.3.6

Réécrivez ${\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}$ comme $1 + u^{2}$ .

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Étape 2.1.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 + u^{2}}$ comme ${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{({(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Étape 2.1.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Étape 2.1.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Étape 2.1.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Étape 2.1.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{1}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Étape 2.1.3.6.5

Simplifiez

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Étape 2.1.4

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(\sqrt{1^{2} - v^{2}}, v)$ , $(\sqrt{1^{2} - v^{2}}, 0)$ , et l’origine. Alors $\sin^{-1} (v)$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(\sqrt{1^{2} - v^{2}}, v)$ . Ainsi, $\cos (\sin^{-1} (v))$ est $\sqrt{1 - v^{2}}$ .

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \sqrt{1 - v^{2}} + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Étape 2.1.5

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \sqrt{1^{2} - v^{2}} + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Étape 2.1.6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = v$ .

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \sqrt{(1 + v) (1 - v)} + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Étape 2.1.7

Multipliez $\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \sqrt{(1 + v) (1 - v)}$ .

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Étape 2.1.7.1

Associez $\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}}$ et $\sqrt{(1 + v) (1 - v)}$ .

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}} \sqrt{(1 + v) (1 - v)}}{1 + u^{2}} + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Étape 2.1.7.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Étape 2.1.8

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(1, u)$ , $(1, 0)$ , et l’origine. Alors $\tan^{-1} (u)$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(1, u)$ . Ainsi, $\cos (\tan^{-1} (u))$ est $\frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}} \sin (\sin^{-1} (v))$

Étape 2.1.9

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}} \sin (\sin^{-1} (v))$

Étape 2.1.10

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.10.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}} \sqrt{1 + u^{2}}} \sin (\sin^{-1} (v))$

Étape 2.1.10.2

Élevez $\sqrt{1 + u^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} \sqrt{1 + u^{2}}} \sin (\sin^{-1} (v))$

Étape 2.1.10.3

Élevez $\sqrt{1 + u^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + u^{2}}}^{1}} \sin (\sin^{-1} (v))$

Étape 2.1.10.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1 + 1}} \sin (\sin^{-1} (v))$

Étape 2.1.10.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}} \sin (\sin^{-1} (v))$

Étape 2.1.10.6

Réécrivez ${\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}$ comme $1 + u^{2}$ .

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Étape 2.1.10.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 + u^{2}}$ comme ${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{({(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sin (\sin^{-1} (v))$

Étape 2.1.10.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sin (\sin^{-1} (v))$

Étape 2.1.10.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}} \sin (\sin^{-1} (v))$

Étape 2.1.10.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.10.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}} \sin (\sin^{-1} (v))$

Étape 2.1.10.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{1}} \sin (\sin^{-1} (v))$

Étape 2.1.10.6.5

Simplifiez

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \sin (\sin^{-1} (v))$

Étape 2.1.11

Les fonctions sinus et arc sinus sont inverses.

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} v$

Étape 2.1.12

Associez $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}}$ et $v$ .

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}}$

Étape 2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})} + \sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}}$