Trigonométrie Exemples

$x^{2} - 9 y^{2} = 900$

Étape 1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- 9 y^{2} = 900 - x^{2}$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $- 9 y^{2} = 900 - x^{2}$ par $- 9$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $- 9 y^{2} = 900 - x^{2}$ par $- 9$ .

$\frac{- 9 y^{2}}{- 9} = \frac{900}{- 9} + \frac{- x^{2}}{- 9}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 9$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 9 y^{2}}{- 9} = \frac{900}{- 9} + \frac{- x^{2}}{- 9}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{900}{- 9} + \frac{- x^{2}}{- 9}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Divisez $900$ par $- 9$ .

$y^{2} = - 100 + \frac{- x^{2}}{- 9}$

Étape 2.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y^{2} = - 100 + \frac{x^{2}}{9}$

Étape 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 100 + \frac{x^{2}}{9}}$

Étape 4

Simplifiez $\pm \sqrt{- 100 + \frac{x^{2}}{9}}$ .

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Étape 4.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 100 + \frac{x^{2}}{3^{2}}}$

Étape 4.2

Réécrivez $\frac{x^{2}}{3^{2}}$ comme ${(\frac{x}{3})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 100 + {(\frac{x}{3})}^{2}}$

Étape 4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.1

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 10^{2} + {(\frac{x}{3})}^{2}}$

Étape 4.3.2

Remettez dans l’ordre $- 10^{2}$ et ${(\frac{x}{3})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2} - 10^{2}}$

Étape 4.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \frac{x}{3}$ et $b = 10$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{x}{3} + 10) (\frac{x}{3} - 10)}$

Étape 4.5

Pour écrire $10$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{x}{3} + 10 \cdot \frac{3}{3}) (\frac{x}{3} - 10)}$

Étape 4.6

Associez $10$ et $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{x}{3} + \frac{10 \cdot 3}{3}) (\frac{x}{3} - 10)}$

Étape 4.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 10 \cdot 3}{3} (\frac{x}{3} - 10)}$

Étape 4.8

Multipliez $10$ par $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 30}{3} (\frac{x}{3} - 10)}$

Étape 4.9

Pour écrire $- 10$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 30}{3} (\frac{x}{3} - 10 \cdot \frac{3}{3})}$

Étape 4.10

Associez $- 10$ et $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 30}{3} (\frac{x}{3} + \frac{- 10 \cdot 3}{3})}$

Étape 4.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 30}{3} \cdot \frac{x - 10 \cdot 3}{3}}$

Étape 4.12

Multipliez $- 10$ par $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 30}{3} \cdot \frac{x - 30}{3}}$

Étape 4.13

Multipliez $\frac{x + 30}{3}$ par $\frac{x - 30}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(x + 30) (x - 30)}{3 \cdot 3}}$

Étape 4.14

Multipliez $3$ par $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(x + 30) (x - 30)}{9}}$

Étape 4.15

Réécrivez $\frac{(x + 30) (x - 30)}{9}$ comme ${(\frac{1}{3})}^{2} ((x + 30) (x - 30))$ .

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Étape 4.15.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $(x + 30) (x - 30)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 30) (x - 30))}{9}}$

Étape 4.15.2

Factorisez la puissance parfaite $3^{2}$ dans $9$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 30) (x - 30))}{3^{2} \cdot 1}}$

Étape 4.15.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} ((x + 30) (x - 30))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((x + 30) (x - 30))}$

Étape 4.16

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{(x + 30) (x - 30)}$

Étape 4.17

Associez $\frac{1}{3}$ et $\sqrt{(x + 30) (x - 30)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(x + 30) (x - 30)}}{3}$

Étape 5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{(x + 30) (x - 30)}}{3}$

Étape 5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{(x + 30) (x - 30)}}{3}$

Étape 5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{(x + 30) (x - 30)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(x + 30) (x - 30)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{(x + 30) (x - 30)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(x + 30) (x - 30)}}{3}$

Étape 6

Définissez le radicande dans $\sqrt{(x + 30) (x - 30)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$(x + 30) (x - 30) \geq 0$

Étape 7

Résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 30 = 0$

$x - 30 = 0$

Étape 7.2

Définissez $x + 30$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.2.1

Définissez $x + 30$ égal à $0$ .

$x + 30 = 0$

Étape 7.2.2

Soustrayez $30$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 30$

Étape 7.3

Définissez $x - 30$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.3.1

Définissez $x - 30$ égal à $0$ .

$x - 30 = 0$

Étape 7.3.2

Ajoutez $30$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 30$

Étape 7.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 30) (x - 30) \geq 0$ vraie.

$x = - 30, 30$

Étape 7.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 30$

$- 30 < x < 30$

$x > 30$

Étape 7.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 7.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 30$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 30$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 32$

Étape 7.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 32$ dans l’inégalité d’origine.

$((- 32) + 30) ((- 32) - 30) \geq 0$

Étape 7.6.1.3

Le côté gauche $124$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 7.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 30 < x < 30$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 30 < x < 30$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 7.6.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$((0) + 30) ((0) - 30) \geq 0$

Étape 7.6.2.3

Le côté gauche $- 900$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 7.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 30$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 30$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 32$

Étape 7.6.3.2

Remplacez $x$ par $32$ dans l’inégalité d’origine.

$((32) + 30) ((32) - 30) \geq 0$

Étape 7.6.3.3

Le côté gauche $124$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 7.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 30$ Vrai

$- 30 < x < 30$ Faux

$x > 30$ Vrai

$x < - 30$ Vrai

$- 30 < x < 30$ Faux

$x > 30$ Vrai

Étape 7.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - 30$ ou $x \geq 30$

Étape 8

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 30] \cup [30, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \leq - 30, x \geq 30}$

Étape 9

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | y \in ℝ}$

Étape 10

Déterminez le domaine et la plage.

Domaine : $(- \infty, - 30] \cup [30, \infty), {x | x \leq - 30, x \geq 30}$

Plage : $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Étape 11