Trigonométrie Exemples

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 5 \\ c = \\ a = \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 30 \\ B = & 60 \\ C = & 90 \end{matrix} \end{matrix}$

Étape 1

Déterminez $c$ .

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Étape 1.1

Le sinus d’un angle est égal au ratio du côté opposé sur l’hypoténuse.

$\sin (B) = \frac{opp}{hyp}$

Étape 1.2

Remplacez le nom de chaque côté dans la définition de la fonction sinus.

$\sin (B) = \frac{b}{c}$

Étape 1.3

Définissez l’équation à résoudre pour l’hypoténuse, dans ce cas $c$ .

$c = \frac{b}{\sin (B)}$

Étape 1.4

Remplacez les valeurs de chaque variable dans la formule pour le sinus.

$c = \frac{5}{\sin (60)}$

Étape 1.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$c = 5 (\frac{2}{\sqrt{3}})$

Étape 1.6

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$c = 5 (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Étape 1.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.7.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$c = 5 (\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})$

Étape 1.7.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$c = 5 (\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})$

Étape 1.7.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$c = 5 (\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})$

Étape 1.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$c = 5 (\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}})$

Étape 1.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$c = 5 (\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}})$

Étape 1.7.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 1.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$c = 5 (\frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 1.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$c = 5 (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 1.7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$c = 5 (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})$

Étape 1.7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$c = 5 (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})$

Étape 1.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$c = 5 (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Étape 1.7.6.5

Évaluez l’exposant.

$c = 5 (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Étape 1.8

Multipliez $5 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Étape 1.8.1

Associez $5$ et $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$c = \frac{5 (2 \sqrt{3})}{3}$

Étape 1.8.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$c = \frac{10 \sqrt{3}}{3}$

Étape 2

Déterminez le dernier côté du triangle en utilisant le théorème de Pythagore.

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Étape 2.1

Utilisez le théorème de Pythagore pour déterminer le côté inconnu. Dans tout triangle rectangle, l’aire du carré dont le côté est l’hypoténuse (le côté d’un triangle rectangle opposé à l’angle droit) est égale à la somme des aires des carrés dont les côtés sont les deux jambes (les deux autres côtés que l’hypoténuse).

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Étape 2.2

Résolvez l’équation pour $a$ .

$a = \sqrt{c^{2} - b^{2}}$

Étape 2.3

Remplacez les valeurs réelles dans l’équation.

$a = \sqrt{{(\frac{10 \sqrt{3}}{3})}^{2} - {(5)}^{2}}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.4.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{10 \sqrt{3}}{3}$ .

$a = \sqrt{\frac{{(10 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}} - {(5)}^{2}}$

Étape 2.4.2

Appliquez la règle de produit à $10 \sqrt{3}$ .

$a = \sqrt{\frac{10^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} - {(5)}^{2}}$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$a = \sqrt{\frac{100 {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} - {(5)}^{2}}$

Étape 2.5.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.5.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$a = \sqrt{\frac{100 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} - {(5)}^{2}}$

Étape 2.5.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a = \sqrt{\frac{100 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} - {(5)}^{2}}$

Étape 2.5.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$a = \sqrt{\frac{100 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} - {(5)}^{2}}$

Étape 2.5.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$a = \sqrt{\frac{100 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} - {(5)}^{2}}$

Étape 2.5.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$a = \sqrt{\frac{100 \cdot 3}{3^{2}} - {(5)}^{2}}$

Étape 2.5.2.5

Évaluez l’exposant.

$a = \sqrt{\frac{100 \cdot 3}{3^{2}} - {(5)}^{2}}$

Étape 2.6

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.6.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$a = \sqrt{\frac{100 \cdot 3}{9} - {(5)}^{2}}$

Étape 2.6.2

Multipliez $100$ par $3$ .

$a = \sqrt{\frac{300}{9} - {(5)}^{2}}$

Étape 2.6.3

Annulez le facteur commun à $300$ et $9$ .

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Étape 2.6.3.1

Factorisez $3$ à partir de $300$ .

$a = \sqrt{\frac{3 (100)}{9} - {(5)}^{2}}$

Étape 2.6.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.6.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$a = \sqrt{\frac{3 \cdot 100}{3 \cdot 3} - {(5)}^{2}}$

Étape 2.6.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$a = \sqrt{\frac{3 \cdot 100}{3 \cdot 3} - {(5)}^{2}}$

Étape 2.6.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$a = \sqrt{\frac{100}{3} - {(5)}^{2}}$

Étape 2.6.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.4.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$a = \sqrt{\frac{100}{3} - 1 \cdot 25}$

Étape 2.6.4.2

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$a = \sqrt{\frac{100}{3} - 25}$

Étape 2.7

Pour écrire $- 25$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$a = \sqrt{\frac{100}{3} - 25 \cdot \frac{3}{3}}$

Étape 2.8

Associez $- 25$ et $\frac{3}{3}$ .

$a = \sqrt{\frac{100}{3} + \frac{- 25 \cdot 3}{3}}$

Étape 2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$a = \sqrt{\frac{100 - 25 \cdot 3}{3}}$

Étape 2.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.10.1

Multipliez $- 25$ par $3$ .

$a = \sqrt{\frac{100 - 75}{3}}$

Étape 2.10.2

Soustrayez $75$ de $100$ .

$a = \sqrt{\frac{25}{3}}$

Étape 2.11

Réécrivez $\sqrt{\frac{25}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{3}}$ .

$a = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{3}}$

Étape 2.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.12.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$a = \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{3}}$

Étape 2.12.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$a = \frac{5}{\sqrt{3}}$

Étape 2.13

Multipliez $\frac{5}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$a = \frac{5}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 2.14

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.14.1

Multipliez $\frac{5}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$a = \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 2.14.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$a = \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 2.14.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$a = \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 2.14.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a = \frac{5 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 2.14.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$a = \frac{5 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 2.14.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.14.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$a = \frac{5 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.14.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a = \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.14.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$a = \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.14.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.14.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$a = \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.14.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$a = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Étape 2.14.6.5

Évaluez l’exposant.

$a = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Étape 3

Ce sont les résultats pour tous les angles et côtés du triangle donné.

$A = 30$

$B = 60$

$C = 90$

$a = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

$b = 5$

$c = \frac{10 \sqrt{3}}{3}$