Trigonométrie Exemples

$\cos (θ) - \tan (θ) \cos (θ) = 0$

Étape 1

Factorisez $\cos (θ)$ à partir de $\cos (θ) - \tan (θ) \cos (θ)$ .

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Étape 1.1

Élevez $\cos (θ)$ à la puissance $1$ .

$\cos (θ) - \tan (θ) \cos (θ) = 0$

Étape 1.2

Factorisez $\cos (θ)$ à partir de $\cos^{1} (θ)$ .

$\cos (θ) \cdot 1 - \tan (θ) \cos (θ) = 0$

Étape 1.3

Factorisez $\cos (θ)$ à partir de $- \tan (θ) \cos (θ)$ .

$\cos (θ) \cdot 1 + \cos (θ) (- \tan (θ)) = 0$

Étape 1.4

Factorisez $\cos (θ)$ à partir de $\cos (θ) \cdot 1 + \cos (θ) (- \tan (θ))$ .

$\cos (θ) (1 - \tan (θ)) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cos (θ) = 0$

$1 - \tan (θ) = 0$

Étape 3

Définissez $\cos (θ)$ égal à $0$ et résolvez $θ$ .

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Étape 3.1

Définissez $\cos (θ)$ égal à $0$ .

$\cos (θ) = 0$

Étape 3.2

Résolvez $\cos (θ) = 0$ pour $θ$ .

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Étape 3.2.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du cosinus.

$θ = \arccos (0)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Étape 3.2.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$θ = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 3.2.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 3.2.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 3.2.4.2

Associez les fractions.

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Étape 3.2.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 3.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 3.2.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.4.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$θ = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 3.2.4.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Étape 3.2.5

Déterminez la période de $\cos (θ)$ .

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Étape 3.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.2.6

La période de la fonction $\cos (θ)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Définissez $1 - \tan (θ)$ égal à $0$ et résolvez $θ$ .

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Étape 4.1

Définissez $1 - \tan (θ)$ égal à $0$ .

$1 - \tan (θ) = 0$

Étape 4.2

Résolvez $1 - \tan (θ) = 0$ pour $θ$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \tan (θ) = - 1$

Étape 4.2.2

Divisez chaque terme dans $- \tan (θ) = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- \tan (θ) = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \tan (θ)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\tan (θ)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.2.2.2.2

Divisez $\tan (θ)$ par $1$ .

$\tan (θ) = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$\tan (θ) = 1$

Étape 4.2.3

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur de la tangente.

$θ = \arctan (1)$

Étape 4.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.4.1

La valeur exacte de $\arctan (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Étape 4.2.5

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$θ = π + \frac{π}{4}$

Étape 4.2.6

Simplifiez $π + \frac{π}{4}$ .

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Étape 4.2.6.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$θ = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 4.2.6.2

Associez les fractions.

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Étape 4.2.6.2.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 4.2.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$θ = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Étape 4.2.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.6.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$θ = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Étape 4.2.6.3.2

Additionnez $4 π$ et $π$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Étape 4.2.7

Déterminez la période de $\tan (θ)$ .

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Étape 4.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 4.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 4.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 4.2.7.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 4.2.8

La période de la fonction $\tan (θ)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$θ = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\cos (θ) (1 - \tan (θ)) = 0$ vraie.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$