Trigonométrie Exemples

$x^{4} - 4 x^{2} - 4 x + 8$

Étape 1

Factorisez $x^{4} - 4 x^{2} - 4 x + 8$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Étape 1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Étape 1.3

Remplacez $2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $2$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.3.1

Remplacez $2$ dans le polynôme.

$2^{4} - 4 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 8$

Étape 1.3.2

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$16 - 4 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 8$

Étape 1.3.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$16 - 4 \cdot 4 - 4 \cdot 2 + 8$

Étape 1.3.4

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$16 - 16 - 4 \cdot 2 + 8$

Étape 1.3.5

Soustrayez $16$ de $16$ .

$0 - 4 \cdot 2 + 8$

Étape 1.3.6

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$0 - 8 + 8$

Étape 1.3.7

Soustrayez $8$ de $0$ .

$- 8 + 8$

Étape 1.3.8

Additionnez $- 8$ et $8$ .

$0$

Étape 1.4

Comme $2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{4} - 4 x^{2} - 4 x + 8}{x - 2}$

Étape 1.5

Divisez $x^{4} - 4 x^{2} - 4 x + 8$ par $x - 2$ .

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Étape 1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

Étape 1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

Étape 1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Étape 1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{4} - 2 x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Étape 1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Étape 1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

Étape 1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

Étape 1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

Étape 1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{3} - 4 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

Étape 1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0$

Étape 1.5.11

Extrayez le terme suivant du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0$

$4 x$

$8$

Étape 1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 4 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0$

$4 x$

$8$

Étape 1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0$

$4 x$

$8$

$4 x$

$8$

Étape 1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 4 x + 8$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0$

$4 x$

$8$

$4 x$

$8$

Étape 1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0$

$4 x$

$8$

$4 x$

$8$

$0$

Étape 1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{3} + 2 x^{2} + 0 x - 4$

Étape 1.6

Écrivez $x^{4} - 4 x^{2} - 4 x + 8$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 2) (x^{3} + 2 x^{2} + 0 x - 4)$

Étape 2

Multipliez $0$ par $x$ .

$(x - 2) (x^{3} + 2 x^{2} + 0 - 4)$

Étape 3

Additionnez $x^{3}$ et $0$ .

$(x - 2) (x^{3} + 2 x^{2} - 4)$