Trigonométrie Exemples

$\frac{\sec^{2} (θ) - 1}{\sec^{2} (θ)} = \sin^{2} (θ)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{\sec^{2} (θ) - 1}{\sec^{2} (θ)}$

Étape 2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\tan^{2} (θ)}{\sec^{2} (θ)}$

Étape 3

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 3.1

Écrivez $\tan (θ)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{{(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{2}}{\sec^{2} (θ)}$

Étape 3.2

Appliquez l’identité réciproque à $\sec (θ)$ .

$\frac{{(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{2}}{{(\frac{1}{\cos (θ)})}^{2}}$

Étape 3.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}}{{(\frac{1}{\cos (θ)})}^{2}}$

Étape 3.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (θ)}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (θ)}^{2}}{1^{2}}$

Étape 4.2

Associez.

$\frac{{\sin (θ)}^{2} {\cos (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2} \cdot 1^{2}}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de ${\cos (θ)}^{2}$ .

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{\sin (θ)}^{2} {\cos (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2} \cdot 1^{2}}$

Étape 4.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{1^{2}}$

Étape 4.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{1}$

Étape 4.5

Divisez ${\sin (θ)}^{2}$ par $1$ .

$\sin^{2} (θ)$

Étape 5

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{\sec^{2} (θ) - 1}{\sec^{2} (θ)} = \sin^{2} (θ)$ est une identité