Trigonométrie Exemples

$y = \frac{1}{2} \arccos (π x) - 3$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \frac{1}{2} \cdot \arccos (π y) - 3$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{2} \cdot \arccos (π y) - 3 = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \arccos (π y) - 3 = x$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\arccos (π y)$ .

$\frac{\arccos (π y)}{2} - 3 = x$

Étape 2.3

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{\arccos (π y)}{2} = x + 3$

Étape 2.4

Multipliez les deux côtés par $2$ .

$\frac{\arccos (π y)}{2} \cdot 2 = (x + 3) \cdot 2$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\arccos (π y)}{2} \cdot 2 = (x + 3) \cdot 2$

Étape 2.5.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\arccos (π y) = (x + 3) \cdot 2$

Étape 2.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.1

Simplifiez $(x + 3) \cdot 2$ .

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Étape 2.5.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\arccos (π y) = x \cdot 2 + 3 \cdot 2$

Étape 2.5.2.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.2.1.2.1

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\arccos (π y) = 2 \cdot x + 3 \cdot 2$

Étape 2.5.2.1.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\arccos (π y) = 2 x + 6$

Étape 2.6

Résolvez $y$ .

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Étape 2.6.1

Prenez l’arc cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de l’arc cosinus.

$π y = \cos (2 x + 6)$

Étape 2.6.2

Divisez chaque terme dans $π y = \cos (2 x + 6)$ par $π$ et simplifiez.

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Étape 2.6.2.1

Divisez chaque terme dans $π y = \cos (2 x + 6)$ par $π$ .

$\frac{π y}{π} = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$

Étape 2.6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 2.6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{π y}{π} = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$

Étape 2.6.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (2 (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) + 6)}{π}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\arccos (π x)$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (2 (\frac{\arccos (π x)}{2} - 3) + 6)}{π}$

Étape 4.2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (2 (\frac{\arccos (π x)}{2}) + 2 \cdot - 3 + 6)}{π}$

Étape 4.2.3.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.3.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (2 (\frac{\arccos (π x)}{2}) + 2 \cdot - 3 + 6)}{π}$

Étape 4.2.3.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (\arccos (π x) + 2 \cdot - 3 + 6)}{π}$

Étape 4.2.3.1.4

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (\arccos (π x) - 6 + 6)}{π}$

Étape 4.2.3.2

Associez les termes opposés dans $\arccos (π x) - 6 + 6$ .

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Étape 4.2.3.2.1

Additionnez $- 6$ et $6$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (\arccos (π x) + 0)}{π}$

Étape 4.2.3.2.2

Additionnez $\arccos (π x)$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (\arccos (π x))}{π}$

Étape 4.2.3.3

Les fonctions cosinus et arc cosinus sont inverses.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{π x}{π}$

Étape 4.2.4

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 4.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{π x}{π}$

Étape 4.2.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{\cos (2 x + 6)}{π})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\cos (2 x + 6)}{π}) = \frac{1}{2} \cdot \arccos (π (\frac{\cos (2 x + 6)}{π})) - 3$

Étape 4.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.1

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 4.3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\cos (2 x + 6)}{π}) = \frac{1}{2} \cdot \arccos (π (\frac{\cos (2 x + 6)}{π})) - 3$

Étape 4.3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\cos (2 x + 6)}{π}) = \frac{1}{2} \cdot \arccos (\cos (2 x + 6)) - 3$

Étape 4.3.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $\arccos (\cos (2 x + 6))$ .

$f (\frac{\cos (2 x + 6)}{π}) = \frac{\arccos (\cos (2 x + 6))}{2} - 3$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$