Trigonométrie Exemples

$\frac{x^{2}}{20} + \frac{y^{2}}{36} = 1$

Étape 1

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{x^{2}}{20} + \frac{y^{2}}{36} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une ellipse. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer le centre et le petit et le grand axe de l’ellipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette ellipse avec celles de la forme normalisée. La variable $a$ représente le rayon du grand axe de l’ellipse, $b$ représente le rayon du petit axe de l’ellipse, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$a = 6$

$b = 2 \sqrt{5}$

$k = 0$

$h = 0$

Étape 4

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Étape 5

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(6)}^{2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{6}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{6}$

Étape 6.1.2

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{36 - (2^{2} {\sqrt{5}}^{2})}}{6}$

Étape 6.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - (4 {\sqrt{5}}^{2})}}{6}$

Étape 6.1.4

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 6.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{36 - (4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2})}}{6}$

Étape 6.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{36 - (4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2})}}{6}$

Étape 6.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - (4 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}}{6}$

Étape 6.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{36 - (4 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}}{6}$

Étape 6.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{36 - (4 \cdot 5^{1})}}{6}$

Étape 6.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{36 - (4 \cdot 5)}}{6}$

Étape 6.1.5

Multipliez $- (4 \cdot 5)$ .

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Étape 6.1.5.1

Multipliez $4$ par $5$ .

$\frac{\sqrt{36 - 1 \cdot 20}}{6}$

Étape 6.1.5.2

Multipliez $- 1$ par $20$ .

$\frac{\sqrt{36 - 20}}{6}$

Étape 6.1.6

Soustrayez $20$ de $36$ .

$\frac{\sqrt{16}}{6}$

Étape 6.1.7

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2}}}{6}$

Étape 6.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{4}{6}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $6$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 (2)}{6}$

Étape 6.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

Étape 6.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

Étape 6.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{3}$

Étape 7