Trigonométrie Exemples

$9 y^{2} + 41 = 4 x^{2} + 54 y + 8 x$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $4 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$9 y^{2} + 41 - 4 x^{2} = 54 y + 8 x$

Étape 1.2

Soustrayez $54 y$ des deux côtés de l’équation.

$9 y^{2} + 41 - 4 x^{2} - 54 y = 8 x$

Étape 1.3

Soustrayez $8 x$ des deux côtés de l’équation.

$9 y^{2} + 41 - 4 x^{2} - 54 y - 8 x = 0$

Étape 1.4

Déplacez $41$ .

$9 y^{2} - 4 x^{2} - 54 y - 8 x + 41 = 0$

Étape 1.5

Déplacez $- 54 y$ .

$9 y^{2} - 4 x^{2} - 8 x - 54 y + 41 = 0$

Étape 1.6

Remettez dans l’ordre $9 y^{2}$ et $- 4 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} + 9 y^{2} - 8 x - 54 y + 41 = 0$

Étape 2

Soustrayez $41$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 x^{2} + 9 y^{2} - 8 x - 54 y = - 41$

Étape 3

Complétez le carré pour $- 4 x^{2} - 8 x$ .

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Étape 3.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 4$

$b = - 8$

$c = 0$

Étape 3.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 3.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot - 4}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $2$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot - 4}$

Étape 3.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (- 4)}$

Étape 3.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot - 4}$

Étape 3.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 4}{- 4}$

Étape 3.3.2.2

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{- 4}{- 4}$

Étape 3.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$d = 1$

Étape 3.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 3.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot - 4}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot - 4}$

Étape 3.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$e = 0 - \frac{64}{- 16}$

Étape 3.4.2.1.3

Divisez $64$ par $- 16$ .

$e = 0 - - 4$

Étape 3.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$e = 0 + 4$

Étape 3.4.2.2

Additionnez $0$ et $4$ .

$e = 4$

Étape 3.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- 4 {(x + 1)}^{2} + 4$ .

$- 4 {(x + 1)}^{2} + 4$

Étape 4

Remplacez $- 4 x^{2} - 8 x$ par $- 4 {(x + 1)}^{2} + 4$ dans l’équation $- 4 x^{2} + 9 y^{2} - 8 x - 54 y = - 41$ .

$- 4 {(x + 1)}^{2} + 4 + 9 y^{2} - 54 y = - 41$

Étape 5

Déplacez $4$ du côté droit de l’équation en ajoutant $4$ des deux côtés.

$- 4 {(x + 1)}^{2} + 9 y^{2} - 54 y = - 41 - 4$

Étape 6

Complétez le carré pour $9 y^{2} - 54 y$ .

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Étape 6.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 9$

$b = - 54$

$c = 0$

Étape 6.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 6.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 6.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 54}{2 \cdot 9}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 54$ et $2$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 54$ .

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 9}$

Étape 6.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 (9)}$

Étape 6.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 9}$

Étape 6.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 27}{9}$

Étape 6.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 27$ et $9$ .

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Étape 6.3.2.2.1

Factorisez $9$ à partir de $- 27$ .

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9}$

Étape 6.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.2.2.2.1

Factorisez $9$ à partir de $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9 (1)}$

Étape 6.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9 \cdot 1}$

Étape 6.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 3}{1}$

Étape 6.3.2.2.2.4

Divisez $- 3$ par $1$ .

$d = - 3$

Étape 6.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 6.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 54)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Étape 6.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.2.1.1

Élevez $- 54$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

Étape 6.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $9$ .

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

Étape 6.4.2.1.3

Divisez $2916$ par $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 81$

Étape 6.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $81$ .

$e = 0 - 81$

Étape 6.4.2.2

Soustrayez $81$ de $0$ .

$e = - 81$

Étape 6.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $9 {(y - 3)}^{2} - 81$ .

$9 {(y - 3)}^{2} - 81$

Étape 7

Remplacez $9 y^{2} - 54 y$ par $9 {(y - 3)}^{2} - 81$ dans l’équation $- 4 x^{2} + 9 y^{2} - 8 x - 54 y = - 41$ .

$- 4 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y - 3)}^{2} - 81 = - 41 - 4$

Étape 8

Déplacez $- 81$ du côté droit de l’équation en ajoutant $81$ des deux côtés.

$- 4 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y - 3)}^{2} = - 41 - 4 + 81$

Étape 9

Simplifiez $- 41 - 4 + 81$ .

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Étape 9.1

Soustrayez $4$ de $- 41$ .

$- 4 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y - 3)}^{2} = - 45 + 81$

Étape 9.2

Additionnez $- 45$ et $81$ .

$- 4 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y - 3)}^{2} = 36$

Étape 10

Divisez chaque terme par $36$ pour rendre le côté droit égal à un.

$- \frac{4 {(x + 1)}^{2}}{36} + \frac{9 {(y - 3)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Étape 11

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{4} - \frac{{(x + 1)}^{2}}{9} = 1$