Trigonométrie Exemples

$2 x^{2} - 12 x + 2 y^{2} + 24 y + 18 = 0$

Étape 1

Soustrayez $18$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} - 12 x + 2 y^{2} + 24 y = - 18$

Étape 2

Divisez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$x^{2} - 6 x + y^{2} + 12 y = - 9$

Étape 3

Complétez le carré pour $x^{2} - 6 x$ .

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Étape 3.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - 6$

$c = 0$

Étape 3.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 3.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 6}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $2$ .

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Étape 3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)}$

Étape 3.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 3}{1}$

Étape 3.3.2.2.4

Divisez $- 3$ par $1$ .

$d = - 3$

Étape 3.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 3.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{36}{4}$

Étape 3.4.2.1.3

Divisez $36$ par $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Étape 3.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$e = 0 - 9$

Étape 3.4.2.2

Soustrayez $9$ de $0$ .

$e = - 9$

Étape 3.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(x - 3)}^{2} - 9$ .

${(x - 3)}^{2} - 9$

Étape 4

Remplacez $x^{2} - 6 x$ par ${(x - 3)}^{2} - 9$ dans l’équation $x^{2} - 6 x + y^{2} + 12 y = - 9$ .

${(x - 3)}^{2} - 9 + y^{2} + 12 y = - 9$

Étape 5

Déplacez $- 9$ du côté droit de l’équation en ajoutant $9$ des deux côtés.

${(x - 3)}^{2} + y^{2} + 12 y = - 9 + 9$

Étape 6

Complétez le carré pour $y^{2} + 12 y$ .

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Étape 6.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = 12$

$c = 0$

Étape 6.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 6.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 6.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{12}{2 \cdot 1}$

Étape 6.3.2

Annulez le facteur commun à $12$ et $2$ .

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Étape 6.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1}$

Étape 6.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 (1)}$

Étape 6.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1}$

Étape 6.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{6}{1}$

Étape 6.3.2.2.4

Divisez $6$ par $1$ .

$d = 6$

Étape 6.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 6.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{12^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 6.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.2.1.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot 1}$

Étape 6.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{144}{4}$

Étape 6.4.2.1.3

Divisez $144$ par $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 36$

Étape 6.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $36$ .

$e = 0 - 36$

Étape 6.4.2.2

Soustrayez $36$ de $0$ .

$e = - 36$

Étape 6.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(y + 6)}^{2} - 36$ .

${(y + 6)}^{2} - 36$

Étape 7

Remplacez $y^{2} + 12 y$ par ${(y + 6)}^{2} - 36$ dans l’équation $x^{2} - 6 x + y^{2} + 12 y = - 9$ .

${(x - 3)}^{2} + {(y + 6)}^{2} - 36 = - 9 + 9$

Étape 8

Déplacez $- 36$ du côté droit de l’équation en ajoutant $36$ des deux côtés.

${(x - 3)}^{2} + {(y + 6)}^{2} = - 9 + 9 + 36$

Étape 9

Simplifiez $- 9 + 9 + 36$ .

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Étape 9.1

Additionnez $- 9$ et $9$ .

${(x - 3)}^{2} + {(y + 6)}^{2} = 0 + 36$

Étape 9.2

Additionnez $0$ et $36$ .

${(x - 3)}^{2} + {(y + 6)}^{2} = 36$