Trigonométrie Exemples

$\sqrt{3} + i$

Étape 1

Les racines sont les points où le graphe croise l’axe des x $(y = 0)$ .

$y = 0$ aux racines

Étape 2

La racine sur $x = \sqrt{3} + i$ a été trouvée en résolvant $x$ lorsque $x - (\sqrt{3} + i) = y$ et $y = 0$ .

Le facteur est $x - \sqrt{3} - i$

Étape 3

La racine sur $x = \sqrt{3} - i$ a été trouvée en résolvant $x$ lorsque $x - (\sqrt{3} - i) = y$ et $y = 0$ .

Le facteur est $x - \sqrt{3} + i$

Étape 4

Associez tous les facteurs en une équation unique.

$y = (x - \sqrt{3} - i) (x - \sqrt{3} + i)$

Étape 5

Multipliez tous les facteurs pour simplifier l’équation $y = (x - \sqrt{3} - i) (x - \sqrt{3} + i)$ .

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Étape 5.1

Développez $(x - \sqrt{3} - i) (x - \sqrt{3} + i)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$y = x \cdot x + x (- \sqrt{3}) + x i - \sqrt{3} x - \sqrt{3} (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i - i x - i (- \sqrt{3}) - i i$

Étape 5.2

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.1

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x (- \sqrt{3}) + x i - \sqrt{3} x - \sqrt{3} (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i - i x - i (- \sqrt{3}) - i i$ .

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Étape 5.2.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x i$ et $- i x$ .

$y = x \cdot x + x (- \sqrt{3}) + i x - \sqrt{3} x - \sqrt{3} (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i - i x - i (- \sqrt{3}) - i i$

Étape 5.2.1.2

Soustrayez $i x$ de $i x$ .

$y = x \cdot x + x (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} x - \sqrt{3} (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i + 0 - i (- \sqrt{3}) - i i$

Étape 5.2.1.3

Additionnez $x \cdot x + x (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} x - \sqrt{3} (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i$ et $0$ .

$y = x \cdot x + x (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} x - \sqrt{3} (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i - i (- \sqrt{3}) - i i$

Étape 5.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = x^{2} + x (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} x - \sqrt{3} (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i - i (- \sqrt{3}) - i i$

Étape 5.2.2.2

Multipliez $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Étape 5.2.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = x^{2} + x (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} x + 1 \sqrt{3} \sqrt{3} - \sqrt{3} i - i (- \sqrt{3}) - i i$

Étape 5.2.2.2.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$y = x^{2} + x (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} x + \sqrt{3} \sqrt{3} - \sqrt{3} i - i (- \sqrt{3}) - i i$

Étape 5.2.2.2.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$y = x^{2} + x (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} x + \sqrt{3} \sqrt{3} - \sqrt{3} i - i (- \sqrt{3}) - i i$

Étape 5.2.2.2.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$y = x^{2} + x (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} x + \sqrt{3} \sqrt{3} - \sqrt{3} i - i (- \sqrt{3}) - i i$

Étape 5.2.2.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = x^{2} + x (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} x + {\sqrt{3}}^{1 + 1} - \sqrt{3} i - i (- \sqrt{3}) - i i$

Étape 5.2.2.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = x^{2} + x (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} x + {\sqrt{3}}^{2} - \sqrt{3} i - i (- \sqrt{3}) - i i$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 5.2.2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = x^{2} + x (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} x + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sqrt{3} i - i (- \sqrt{3}) - i i$

Étape 5.2.2.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = x^{2} + x (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} x + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sqrt{3} i - i (- \sqrt{3}) - i i$

Étape 5.2.2.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = x^{2} + x (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} x + 3^{\frac{2}{2}} - \sqrt{3} i - i (- \sqrt{3}) - i i$

Étape 5.2.2.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = x^{2} + x (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} x + 3^{\frac{2}{2}} - \sqrt{3} i - i (- \sqrt{3}) - i i$

Étape 5.2.2.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = x^{2} + x (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} x + 3 - \sqrt{3} i - i (- \sqrt{3}) - i i$

Étape 5.2.2.3.5

Évaluez l’exposant.

$y = x^{2} + x (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} x + 3 - \sqrt{3} i - i (- \sqrt{3}) - i i$

Étape 5.2.2.4

Multipliez $- i (- \sqrt{3})$ .

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Étape 5.2.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = x^{2} + x (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} x + 3 - \sqrt{3} i + 1 i \sqrt{3} - i i$

Étape 5.2.2.4.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$y = x^{2} + x (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} x + 3 - \sqrt{3} i + \sqrt{3} i - i i$

Étape 5.2.2.5

Multipliez $- i i$ .

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Étape 5.2.2.5.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = x^{2} + x (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} x + 3 - \sqrt{3} i + \sqrt{3} i - (i i)$

Étape 5.2.2.5.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = x^{2} + x (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} x + 3 - \sqrt{3} i + \sqrt{3} i - (i i)$

Étape 5.2.2.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = x^{2} + x (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} x + 3 - \sqrt{3} i + \sqrt{3} i - i^{1 + 1}$

Étape 5.2.2.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = x^{2} + x (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} x + 3 - \sqrt{3} i + \sqrt{3} i - i^{2}$

Étape 5.2.2.6

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$y = x^{2} + x (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} x + 3 - \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + 1$

Étape 5.2.2.7

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = x^{2} + x (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} x + 3 - \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + 1$

Étape 5.2.3

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 5.2.3.1

Associez les termes opposés dans $x^{2} + x (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} x + 3 - \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + 1$ .

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Étape 5.2.3.1.1

Additionnez $- \sqrt{3} i$ et $\sqrt{3} i$ .

$y = x^{2} + x (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} x + 3 + 0 + 1$

Étape 5.2.3.1.2

Additionnez $x^{2} + x (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} x + 3$ et $0$ .

$y = x^{2} + x (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} x + 3 + 1$

Étape 5.2.3.2

Réorganisez les facteurs de $- \sqrt{3} x$ .

$y = x^{2} + x (- \sqrt{3}) - x \sqrt{3} + 3 + 1$

Étape 5.3

Soustrayez $x \sqrt{3}$ de $x (- \sqrt{3})$ .

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Étape 5.3.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $- 1$ .

$y = x^{2} - 1 \cdot (x \sqrt{3}) - x \sqrt{3} + 3 + 1$

Étape 5.3.2

Soustrayez $x \sqrt{3}$ de $- 1 \cdot x \sqrt{3}$ .

$y = x^{2} - 2 x \sqrt{3} + 3 + 1$

Étape 5.4

Additionnez $3$ et $1$ .

$y = x^{2} - 2 x \sqrt{3} + 4$

Étape 6