Trigonométrie Exemples

$x^{3} + 8 i = 0$

Étape 1

Soustrayez $8 i$ des deux côtés de l’équation.

$x^{3} = - 8 i$

Étape 2

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 3

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles de $a = 0$ et $b = - 8$ .

$| z | = \sqrt{{(- 8)}^{2}}$

Étape 5

Déterminez $| z |$ .

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Étape 5.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{64}$

Étape 5.2

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$| z | = \sqrt{8^{2}}$

Étape 5.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| z | = 8$

Étape 6

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{- 8}{0})$

Étape 7

Comme l’argument est indéfini et $b$ est négatif, l’angle du point sur le plan complexe est $\frac{3 π}{2}$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Étape 8

Remplacez les valeurs de $θ = \frac{3 π}{2}$ et $| z | = 8$ .

$8 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Étape 9

Remplacez le côté droit de l’équation par la forme trigonométrique.

$x^{3} = 8 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$