Trigonométrie Exemples

Résoudre en factorisant 2cos(x)^2+sin(x)=1
Étape 1
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 2
Simplifiez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1
Déplacez .
Étape 2.2
Appliquez l’identité d’angle double du cosinus.
Étape 3
Utilisez l’identité d’angle double pour transformer en .
Étape 4
Factorisez par regroupement.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1
Remettez les termes dans l’ordre.
Étape 4.2
Pour un polynôme de la forme , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est et dont la somme est .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.2.1
Multipliez par .
Étape 4.2.2
Réécrivez comme plus
Étape 4.2.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 4.3
Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.1
Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.
Étape 4.3.2
Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.
Étape 4.4
Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, .
Étape 5
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 6
Définissez égal à et résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.1
Définissez égal à .
Étape 6.2
Résolvez pour .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.1
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 6.2.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.2.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 6.2.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.2.2.1
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.2.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 6.2.2.2.1.2
Divisez par .
Étape 6.2.2.3
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.2.3.1
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 6.2.3
Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire de l’intérieur du sinus.
Étape 6.2.4
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.4.1
La valeur exacte de est .
Étape 6.2.5
La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.
Étape 6.2.6
Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.6.1
Soustrayez de .
Étape 6.2.6.2
L’angle résultant de est positif, inférieur à et coterminal avec .
Étape 6.2.7
Déterminez la période de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.7.1
La période de la fonction peut être calculée en utilisant .
Étape 6.2.7.2
Remplacez par dans la formule pour la période.
Étape 6.2.7.3
La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre et est .
Étape 6.2.7.4
Divisez par .
Étape 6.2.8
Ajoutez à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.8.1
Ajoutez à pour déterminer l’angle positif.
Étape 6.2.8.2
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 6.2.8.3
Associez les fractions.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.8.3.1
Associez et .
Étape 6.2.8.3.2
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 6.2.8.4
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.8.4.1
Multipliez par .
Étape 6.2.8.4.2
Soustrayez de .
Étape 6.2.8.5
Indiquez les nouveaux angles.
Étape 6.2.9
La période de la fonction est si bien que les valeurs se répètent tous les radians dans les deux sens.
, pour tout entier
, pour tout entier
, pour tout entier
Étape 7
Définissez égal à et résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 7.1
Définissez égal à .
Étape 7.2
Résolvez pour .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 7.2.1
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 7.2.2
Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire de l’intérieur du sinus.
Étape 7.2.3
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 7.2.3.1
La valeur exacte de est .
Étape 7.2.4
La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.
Étape 7.2.5
Simplifiez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 7.2.5.1
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 7.2.5.2
Associez les fractions.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 7.2.5.2.1
Associez et .
Étape 7.2.5.2.2
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 7.2.5.3
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 7.2.5.3.1
Déplacez à gauche de .
Étape 7.2.5.3.2
Soustrayez de .
Étape 7.2.6
Déterminez la période de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 7.2.6.1
La période de la fonction peut être calculée en utilisant .
Étape 7.2.6.2
Remplacez par dans la formule pour la période.
Étape 7.2.6.3
La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre et est .
Étape 7.2.6.4
Divisez par .
Étape 7.2.7
La période de la fonction est si bien que les valeurs se répètent tous les radians dans les deux sens.
, pour tout entier
, pour tout entier
, pour tout entier
Étape 8
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
, pour tout entier
Étape 9
Consolidez les réponses.
, pour tout entier