Trigonométrie Exemples

${(- \sqrt{3} + i)}^{6}$

Étape 1

Utilisez le théorème du binôme.

${(- \sqrt{3})}^{6} + 6 {(- \sqrt{3})}^{5} i + 15 {(- \sqrt{3})}^{4} i^{2} + 20 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{3} + 15 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

${(- 1)}^{6} {\sqrt{3}}^{6} + 6 {(- \sqrt{3})}^{5} i + 15 {(- \sqrt{3})}^{4} i^{2} + 20 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{3} + 15 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $6$ .

$1 {\sqrt{3}}^{6} + 6 {(- \sqrt{3})}^{5} i + 15 {(- \sqrt{3})}^{4} i^{2} + 20 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{3} + 15 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.3

Multipliez ${\sqrt{3}}^{6}$ par $1$ .

${\sqrt{3}}^{6} + 6 {(- \sqrt{3})}^{5} i + 15 {(- \sqrt{3})}^{4} i^{2} + 20 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{3} + 15 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.4

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{6}$ comme $3^{3}$ .

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Étape 2.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

${(3^{\frac{1}{2}})}^{6} + 6 {(- \sqrt{3})}^{5} i + 15 {(- \sqrt{3})}^{4} i^{2} + 20 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{3} + 15 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{\frac{1}{2} \cdot 6} + 6 {(- \sqrt{3})}^{5} i + 15 {(- \sqrt{3})}^{4} i^{2} + 20 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{3} + 15 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $6$ .

$3^{\frac{6}{2}} + 6 {(- \sqrt{3})}^{5} i + 15 {(- \sqrt{3})}^{4} i^{2} + 20 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{3} + 15 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.4.4

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 2.1.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$3^{\frac{2 \cdot 3}{2}} + 6 {(- \sqrt{3})}^{5} i + 15 {(- \sqrt{3})}^{4} i^{2} + 20 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{3} + 15 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.4.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.4.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$3^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} + 6 {(- \sqrt{3})}^{5} i + 15 {(- \sqrt{3})}^{4} i^{2} + 20 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{3} + 15 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$3^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} + 6 {(- \sqrt{3})}^{5} i + 15 {(- \sqrt{3})}^{4} i^{2} + 20 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{3} + 15 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$3^{\frac{3}{1}} + 6 {(- \sqrt{3})}^{5} i + 15 {(- \sqrt{3})}^{4} i^{2} + 20 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{3} + 15 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.4.4.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$3^{3} + 6 {(- \sqrt{3})}^{5} i + 15 {(- \sqrt{3})}^{4} i^{2} + 20 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{3} + 15 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.5

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 + 6 {(- \sqrt{3})}^{5} i + 15 {(- \sqrt{3})}^{4} i^{2} + 20 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{3} + 15 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.6

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$27 + 6 ({(- 1)}^{5} {\sqrt{3}}^{5}) i + 15 {(- \sqrt{3})}^{4} i^{2} + 20 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{3} + 15 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.7

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$27 + 6 (- {\sqrt{3}}^{5}) i + 15 {(- \sqrt{3})}^{4} i^{2} + 20 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{3} + 15 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.8

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{5}$ comme $\sqrt{3^{5}}$ .

$27 + 6 (- \sqrt{3^{5}}) i + 15 {(- \sqrt{3})}^{4} i^{2} + 20 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{3} + 15 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.9

Élevez $3$ à la puissance $5$ .

$27 + 6 (- \sqrt{243}) i + 15 {(- \sqrt{3})}^{4} i^{2} + 20 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{3} + 15 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.10

Réécrivez $243$ comme $9^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.1.10.1

Factorisez $81$ à partir de $243$ .

$27 + 6 (- \sqrt{81 (3)}) i + 15 {(- \sqrt{3})}^{4} i^{2} + 20 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{3} + 15 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.10.2

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$27 + 6 (- \sqrt{9^{2} \cdot 3}) i + 15 {(- \sqrt{3})}^{4} i^{2} + 20 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{3} + 15 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.11

Extrayez les termes de sous le radical.

$27 + 6 (- (9 \sqrt{3})) i + 15 {(- \sqrt{3})}^{4} i^{2} + 20 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{3} + 15 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.12

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$27 + 6 (- 9 \sqrt{3}) i + 15 {(- \sqrt{3})}^{4} i^{2} + 20 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{3} + 15 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.13

Multipliez $- 9$ par $6$ .

$27 - 54 \sqrt{3} i + 15 {(- \sqrt{3})}^{4} i^{2} + 20 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{3} + 15 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.14

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$27 - 54 \sqrt{3} i + 15 ({(- 1)}^{4} {\sqrt{3}}^{4}) i^{2} + 20 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{3} + 15 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.15

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$27 - 54 \sqrt{3} i + 15 (1 {\sqrt{3}}^{4}) i^{2} + 20 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{3} + 15 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.16

Multipliez ${\sqrt{3}}^{4}$ par $1$ .

$27 - 54 \sqrt{3} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{3} + 15 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.17

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{4}$ comme $3^{2}$ .

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Étape 2.1.17.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$27 - 54 \sqrt{3} i + 15 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} i^{2} + 20 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{3} + 15 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.17.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 - 54 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} i^{2} + 20 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{3} + 15 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.17.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$27 - 54 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{\frac{4}{2}} i^{2} + 20 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{3} + 15 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.17.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 2.1.17.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$27 - 54 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} i^{2} + 20 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{3} + 15 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.17.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.17.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$27 - 54 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} i^{2} + 20 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{3} + 15 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.17.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$27 - 54 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} i^{2} + 20 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{3} + 15 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.17.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$27 - 54 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{\frac{2}{1}} i^{2} + 20 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{3} + 15 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.17.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$27 - 54 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{2} i^{2} + 20 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{3} + 15 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.18

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$27 - 54 \sqrt{3} i + 15 \cdot 9 i^{2} + 20 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{3} + 15 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.19

Multipliez $15$ par $9$ .

$27 - 54 \sqrt{3} i + 135 i^{2} + 20 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{3} + 15 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.20

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$27 - 54 \sqrt{3} i + 135 \cdot - 1 + 20 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{3} + 15 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.21

Multipliez $135$ par $- 1$ .

$27 - 54 \sqrt{3} i - 135 + 20 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{3} + 15 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.22

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$27 - 54 \sqrt{3} i - 135 + 20 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) i^{3} + 15 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.23

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$27 - 54 \sqrt{3} i - 135 + 20 (- {\sqrt{3}}^{3}) i^{3} + 15 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.24

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{3}$ comme $\sqrt{3^{3}}$ .

$27 - 54 \sqrt{3} i - 135 + 20 (- \sqrt{3^{3}}) i^{3} + 15 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.25

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 - 54 \sqrt{3} i - 135 + 20 (- \sqrt{27}) i^{3} + 15 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.26

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.1.26.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$27 - 54 \sqrt{3} i - 135 + 20 (- \sqrt{9 (3)}) i^{3} + 15 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.26.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$27 - 54 \sqrt{3} i - 135 + 20 (- \sqrt{3^{2} \cdot 3}) i^{3} + 15 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.27

Extrayez les termes de sous le radical.

$27 - 54 \sqrt{3} i - 135 + 20 (- (3 \sqrt{3})) i^{3} + 15 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.28

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$27 - 54 \sqrt{3} i - 135 + 20 (- 3 \sqrt{3}) i^{3} + 15 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.29

Multipliez $- 3$ par $20$ .

$27 - 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i^{3} + 15 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.30

Factorisez $i^{2}$ .

$27 - 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} (i^{2} \cdot i) + 15 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.31

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$27 - 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} (- 1 \cdot i) + 15 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.32

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$27 - 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} (- i) + 15 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.33

Multipliez $- 1$ par $- 60$ .

$27 - 54 \sqrt{3} i - 135 + 60 \sqrt{3} i + 15 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.34

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$27 - 54 \sqrt{3} i - 135 + 60 \sqrt{3} i + 15 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.35

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$27 - 54 \sqrt{3} i - 135 + 60 \sqrt{3} i + 15 (1 {\sqrt{3}}^{2}) i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.36

Multipliez ${\sqrt{3}}^{2}$ par $1$ .

$27 - 54 \sqrt{3} i - 135 + 60 \sqrt{3} i + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.37

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.1.37.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$27 - 54 \sqrt{3} i - 135 + 60 \sqrt{3} i + 15 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.37.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 - 54 \sqrt{3} i - 135 + 60 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.37.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$27 - 54 \sqrt{3} i - 135 + 60 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.37.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.37.4.1

Annulez le facteur commun.

$27 - 54 \sqrt{3} i - 135 + 60 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.37.4.2

Réécrivez l’expression.

$27 - 54 \sqrt{3} i - 135 + 60 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{1} i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.37.5

Évaluez l’exposant.

$27 - 54 \sqrt{3} i - 135 + 60 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3 i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.38

Multipliez $15$ par $3$ .

$27 - 54 \sqrt{3} i - 135 + 60 \sqrt{3} i + 45 i^{4} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.39

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1.39.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$27 - 54 \sqrt{3} i - 135 + 60 \sqrt{3} i + 45 {(i^{2})}^{2} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.39.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$27 - 54 \sqrt{3} i - 135 + 60 \sqrt{3} i + 45 {(- 1)}^{2} + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.39.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$27 - 54 \sqrt{3} i - 135 + 60 \sqrt{3} i + 45 \cdot 1 + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.40

Multipliez $45$ par $1$ .

$27 - 54 \sqrt{3} i - 135 + 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 (- \sqrt{3}) i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.41

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$27 - 54 \sqrt{3} i - 135 + 60 \sqrt{3} i + 45 - 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.42

Factorisez $i^{4}$ .

$27 - 54 \sqrt{3} i - 135 + 60 \sqrt{3} i + 45 - 6 \sqrt{3} (i^{4} i) + i^{6}$

Étape 2.1.43

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1.43.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$27 - 54 \sqrt{3} i - 135 + 60 \sqrt{3} i + 45 - 6 \sqrt{3} ({(i^{2})}^{2} i) + i^{6}$

Étape 2.1.43.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$27 - 54 \sqrt{3} i - 135 + 60 \sqrt{3} i + 45 - 6 \sqrt{3} ({(- 1)}^{2} i) + i^{6}$

Étape 2.1.43.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$27 - 54 \sqrt{3} i - 135 + 60 \sqrt{3} i + 45 - 6 \sqrt{3} (1 i) + i^{6}$

Étape 2.1.44

Multipliez $i$ par $1$ .

$27 - 54 \sqrt{3} i - 135 + 60 \sqrt{3} i + 45 - 6 \sqrt{3} i + i^{6}$

Étape 2.1.45

Factorisez $i^{4}$ .

$27 - 54 \sqrt{3} i - 135 + 60 \sqrt{3} i + 45 - 6 \sqrt{3} i + i^{4} i^{2}$

Étape 2.1.46

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1.46.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$27 - 54 \sqrt{3} i - 135 + 60 \sqrt{3} i + 45 - 6 \sqrt{3} i + {(i^{2})}^{2} i^{2}$

Étape 2.1.46.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$27 - 54 \sqrt{3} i - 135 + 60 \sqrt{3} i + 45 - 6 \sqrt{3} i + {(- 1)}^{2} i^{2}$

Étape 2.1.46.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$27 - 54 \sqrt{3} i - 135 + 60 \sqrt{3} i + 45 - 6 \sqrt{3} i + 1 i^{2}$

Étape 2.1.47

Multipliez $i^{2}$ par $1$ .

$27 - 54 \sqrt{3} i - 135 + 60 \sqrt{3} i + 45 - 6 \sqrt{3} i + i^{2}$

Étape 2.1.48

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$27 - 54 \sqrt{3} i - 135 + 60 \sqrt{3} i + 45 - 6 \sqrt{3} i - 1$

Étape 2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.2.1

Soustrayez $135$ de $27$ .

$- 54 \sqrt{3} i - 108 + 60 \sqrt{3} i + 45 - 6 \sqrt{3} i - 1$

Étape 2.2.2

Additionnez $- 54 \sqrt{3} i$ et $60 \sqrt{3} i$ .

$6 \sqrt{3} i - 108 + 45 - 6 \sqrt{3} i - 1$

Étape 2.2.3

Soustrayez $6 \sqrt{3} i$ de $6 \sqrt{3} i$ .

$0 - 108 + 45 - 1$

Étape 2.2.4

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.2.4.1

Soustrayez $108$ de $0$ .

$- 108 + 45 - 1$

Étape 2.2.4.2

Additionnez $- 108$ et $45$ .

$- 63 - 1$

Étape 2.2.4.3

Soustrayez $1$ de $- 63$ .

$- 64$