Trigonométrie Exemples

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1

Multipliez chaque terme par un facteur de $1$ qui rendra tous les dénominateurs égaux. Dans ce cas, tous les termes ont besoin d’un dénominateur de $2$ .

$\sin (θ) \cdot \frac{2}{2} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 2

Multipliez l’expression par un facteur de $1$ pour créer le plus petit dénominateur commun de $2$ .

$\sin (θ) \cdot 2$

Étape 3

Déplacez $2$ à gauche de $\sin (θ)$ .

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4

Simplifiez $\sin (θ) \cdot \frac{2}{2}$ .

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Étape 4.1

Divisez $2$ par $2$ .

$\sin (θ) \cdot 1 = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4.2

Multipliez $\sin (θ)$ par $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 5

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du sinus.

$θ = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 6

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1

La valeur exacte de $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ est $- \frac{π}{3}$ .

$θ = - \frac{π}{3}$

Étape 7

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$θ = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Étape 8

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 8.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$θ = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Étape 8.2

L’angle résultant de $\frac{4 π}{3}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$θ = \frac{4 π}{3}$

Étape 9

Déterminez la période de $\sin (θ)$ .

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Étape 9.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 9.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 9.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 9.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 10

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 10.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{3}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Étape 10.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 10.3

Associez les fractions.

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Étape 10.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 10.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 10.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.4.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Étape 10.4.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Étape 10.5

Indiquez les nouveaux angles.

$θ = \frac{5 π}{3}$

Étape 11

La période de la fonction $\sin (θ)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$θ = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$