Trigonométrie Exemples

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 5 \\ c = & 13 \\ a = & 12 \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

Étape 1

Utilisez la loi des cosinus pour déterminer le côté inconnu du triangle, à partir des deux autres côtés et de l’angle inclus.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Étape 2

Résolvez l’équation.

$A = \arccos (\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c})$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$A = \arccos (\frac{{(5)}^{2} + {(13)}^{2} - {(12)}^{2}}{2 (5) (13)})$

Étape 4

Simplifiez les résultats.

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$A = \arccos (\frac{25 + 13^{2} - 12^{2}}{2 (5) \cdot 13})$

Étape 4.1.2

Élevez $13$ à la puissance $2$ .

$A = \arccos (\frac{25 + 169 - 12^{2}}{2 (5) \cdot 13})$

Étape 4.1.3

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$A = \arccos (\frac{25 + 169 - 1 \cdot 144}{2 (5) \cdot 13})$

Étape 4.1.4

Multipliez $- 1$ par $144$ .

$A = \arccos (\frac{25 + 169 - 144}{2 (5) \cdot 13})$

Étape 4.1.5

Additionnez $25$ et $169$ .

$A = \arccos (\frac{194 - 144}{2 (5) \cdot 13})$

Étape 4.1.6

Soustrayez $144$ de $194$ .

$A = \arccos (\frac{50}{2 (5) \cdot 13})$

Étape 4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$A = \arccos (\frac{50}{10 \cdot 13})$

Étape 4.2.2

Multipliez $10$ par $13$ .

$A = \arccos (\frac{50}{130})$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun à $50$ et $130$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $10$ à partir de $50$ .

$A = \arccos (\frac{10 (5)}{130})$

Étape 4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $10$ à partir de $130$ .

$A = \arccos (\frac{10 \cdot 5}{10 \cdot 13})$

Étape 4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$A = \arccos (\frac{10 \cdot 5}{10 \cdot 13})$

Étape 4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$A = \arccos (\frac{5}{13})$

Étape 4.4

Évaluez $\arccos (\frac{5}{13})$ .

$A = 67.38013505$

Étape 5

Utilisez la loi des cosinus pour déterminer le côté inconnu du triangle, à partir des deux autres côtés et de l’angle inclus.

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

Étape 6

Résolvez l’équation.

$B = \arccos (\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c})$

Étape 7

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$B = \arccos (\frac{{(12)}^{2} + {(13)}^{2} - {(5)}^{2}}{2 (12) (13)})$

Étape 8

Simplifiez les résultats.

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$B = \arccos (\frac{144 + 13^{2} - 5^{2}}{2 (12) \cdot 13})$

Étape 8.1.2

Élevez $13$ à la puissance $2$ .

$B = \arccos (\frac{144 + 169 - 5^{2}}{2 (12) \cdot 13})$

Étape 8.1.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$B = \arccos (\frac{144 + 169 - 1 \cdot 25}{2 (12) \cdot 13})$

Étape 8.1.4

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$B = \arccos (\frac{144 + 169 - 25}{2 (12) \cdot 13})$

Étape 8.1.5

Additionnez $144$ et $169$ .

$B = \arccos (\frac{313 - 25}{2 (12) \cdot 13})$

Étape 8.1.6

Soustrayez $25$ de $313$ .

$B = \arccos (\frac{288}{2 (12) \cdot 13})$

Étape 8.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.1

Multipliez $2$ par $12$ .

$B = \arccos (\frac{288}{24 \cdot 13})$

Étape 8.2.2

Multipliez $24$ par $13$ .

$B = \arccos (\frac{288}{312})$

Étape 8.3

Annulez le facteur commun à $288$ et $312$ .

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Étape 8.3.1

Factorisez $24$ à partir de $288$ .

$B = \arccos (\frac{24 (12)}{312})$

Étape 8.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.2.1

Factorisez $24$ à partir de $312$ .

$B = \arccos (\frac{24 \cdot 12}{24 \cdot 13})$

Étape 8.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$B = \arccos (\frac{24 \cdot 12}{24 \cdot 13})$

Étape 8.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$B = \arccos (\frac{12}{13})$

Étape 8.4

Évaluez $\arccos (\frac{12}{13})$ .

$B = 22.61986494$

Étape 9

La somme de tous les angles dans un triangle est $180$ degrés.

$67.38013505 + C + 22.61986494 = 180$

Étape 10

Résolvez l’équation pour $C$ .

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Étape 10.1

Additionnez $67.38013505$ et $22.61986494$ .

$C + 90 = 180$

Étape 10.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 10.2.1

Soustrayez $90$ des deux côtés de l’équation.

$C = 180 - 90$

Étape 10.2.2

Soustrayez $90$ de $180$ .

$C = 90$

Étape 11

Ce sont les résultats pour tous les angles et côtés du triangle donné.

$A = 67.38013505$

$B = 22.61986494$

$C = 90$

$a = 12$

$b = 5$

$c = 13$