Trigonométrie Exemples

$A = 40$ , $C = 60$ , $a = 6$

Étape 1

La loi des sinus repose sur la proportionnalité des côtés et des angles dans les triangles. Cette loi indique que pour les angles d’un triangle non rectangle, chaque angle du triangle a le même rapport de la mesure de l’angle sur la valeur du sinus.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 2

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $c$ .

$\frac{\sin (60)}{c} = \frac{\sin (40)}{6}$

Étape 3

Résolvez l’équation pour $c$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Factorisez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

La valeur exacte de $\sin (60)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{c} = \frac{\sin (40)}{6}$

Étape 3.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{c} = \frac{\sin (40)}{6}$

Étape 3.1.3

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $\frac{1}{c}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{\sin (40)}{6}$

Étape 3.1.4

Évaluez $\sin (40)$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{0.6427876}{6}$

Étape 3.1.5

Divisez $0.6427876$ par $6$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 c} = 0.10713126$

Étape 3.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$2 c, 1$

Étape 3.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$2 c$

Étape 3.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{\sqrt{3}}{2 c} = 0.10713126$ par $2 c$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{\sqrt{3}}{2 c} = 0.10713126$ par $2 c$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 c} (2 c) = 0.10713126 (2 c)$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \frac{\sqrt{3}}{2 c} c = 0.10713126 (2 c)$

Étape 3.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 c$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{2 (c)} c = 0.10713126 (2 c)$

Étape 3.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\sqrt{3}}{2 c} c = 0.10713126 (2 c)$

Étape 3.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{3}}{c} c = 0.10713126 (2 c)$

Étape 3.3.2.3

Annulez le facteur commun de $c$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{3}}{c} c = 0.10713126 (2 c)$

Étape 3.3.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{3} = 0.10713126 (2 c)$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1

Multipliez $2$ par $0.10713126$ .

$\sqrt{3} = 0.21426253 c$

Étape 3.4

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Réécrivez l’équation comme $0.21426253 c = \sqrt{3}$ .

$0.21426253 c = \sqrt{3}$

Étape 3.4.2

Divisez chaque terme dans $0.21426253 c = \sqrt{3}$ par $0.21426253$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1

Divisez chaque terme dans $0.21426253 c = \sqrt{3}$ par $0.21426253$ .

$\frac{0.21426253 c}{0.21426253} = \frac{\sqrt{3}}{0.21426253}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $0.21426253$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.21426253 c}{0.21426253} = \frac{\sqrt{3}}{0.21426253}$

Étape 3.4.2.2.1.2

Divisez $c$ par $1$ .

$c = \frac{\sqrt{3}}{0.21426253}$

Étape 3.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.3.1

Évaluez la racine.

$c = \frac{1.7320508}{0.21426253}$

Étape 3.4.2.3.2

Divisez $1.7320508$ par $0.21426253$ .

$c = 8.08377813$

Étape 4

La somme de tous les angles dans un triangle est $180$ degrés.

$40 + 60 + B = 180$

Étape 5

Résolvez l’équation pour $B$ .

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Étape 5.1

Additionnez $40$ et $60$ .

$100 + B = 180$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $B$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $100$ des deux côtés de l’équation.

$B = 180 - 100$

Étape 5.2.2

Soustrayez $100$ de $180$ .

$B = 80$

Étape 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 7

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $b$ .

$\frac{\sin (80)}{b} = \frac{\sin (40)}{6}$

Étape 8

Résolvez l’équation pour $b$ .

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Étape 8.1

Factorisez chaque terme.

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Étape 8.1.1

Évaluez $\sin (80)$ .

$\frac{0.98480775}{b} = \frac{\sin (40)}{6}$

Étape 8.1.2

Évaluez $\sin (40)$ .

$\frac{0.98480775}{b} = \frac{0.6427876}{6}$

Étape 8.1.3

Divisez $0.6427876$ par $6$ .

$\frac{0.98480775}{b} = 0.10713126$

Étape 8.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$b, 1$

Étape 8.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$b$

Étape 8.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{0.98480775}{b} = 0.10713126$ par $b$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{0.98480775}{b} = 0.10713126$ par $b$ .

$\frac{0.98480775}{b} b = 0.10713126 b$

Étape 8.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.2.1

Annulez le facteur commun de $b$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.98480775}{b} b = 0.10713126 b$

Étape 8.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$0.98480775 = 0.10713126 b$

Étape 8.4

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.1

Réécrivez l’équation comme $0.10713126 b = 0.98480775$ .

$0.10713126 b = 0.98480775$

Étape 8.4.2

Divisez chaque terme dans $0.10713126 b = 0.98480775$ par $0.10713126$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.1

Divisez chaque terme dans $0.10713126 b = 0.98480775$ par $0.10713126$ .

$\frac{0.10713126 b}{0.10713126} = \frac{0.98480775}{0.10713126}$

Étape 8.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $0.10713126$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.10713126 b}{0.10713126} = \frac{0.98480775}{0.10713126}$

Étape 8.4.2.2.1.2

Divisez $b$ par $1$ .

$b = \frac{0.98480775}{0.10713126}$

Étape 8.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.3.1

Divisez $0.98480775$ par $0.10713126$ .

$b = 9.19253331$

Étape 9

Ce sont les résultats pour tous les angles et côtés du triangle donné.

$A = 40$

$B = 80$

$C = 60$

$a = 6$

$b = 9.19253331$

$c = 8.08377813$