Trigonométrie Exemples

$\sqrt{{(50 \sqrt{2})}^{2} + {(400 + 50 \sqrt{2})}^{2}}$

Étape 1

Simplifiez en annulant l’exposant avec un radical.

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Étape 1.1

Appliquez la règle de produit à $50 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{50^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {(400 + 50 \sqrt{2})}^{2}}$

Étape 1.2

Élevez $50$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{2500 {\sqrt{2}}^{2} + {(400 + 50 \sqrt{2})}^{2}}$

Étape 1.3

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{2500 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(400 + 50 \sqrt{2})}^{2}}$

Étape 1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{2500 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(400 + 50 \sqrt{2})}^{2}}$

Étape 1.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{2500 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(400 + 50 \sqrt{2})}^{2}}$

Étape 1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{2500 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(400 + 50 \sqrt{2})}^{2}}$

Étape 1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{2500 \cdot 2^{1} + {(400 + 50 \sqrt{2})}^{2}}$

Étape 1.3.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{2500 \cdot 2 + {(400 + 50 \sqrt{2})}^{2}}$

Étape 1.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.1

Multipliez $2500$ par $2$ .

$\sqrt{5000 + {(400 + 50 \sqrt{2})}^{2}}$

Étape 1.4.2

Réécrivez ${(400 + 50 \sqrt{2})}^{2}$ comme $(400 + 50 \sqrt{2}) (400 + 50 \sqrt{2})$ .

$\sqrt{5000 + (400 + 50 \sqrt{2}) (400 + 50 \sqrt{2})}$

Étape 2

Développez $(400 + 50 \sqrt{2}) (400 + 50 \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{5000 + 400 (400 + 50 \sqrt{2}) + 50 \sqrt{2} (400 + 50 \sqrt{2})}$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{5000 + 400 \cdot 400 + 400 (50 \sqrt{2}) + 50 \sqrt{2} (400 + 50 \sqrt{2})}$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{5000 + 400 \cdot 400 + 400 (50 \sqrt{2}) + 50 \sqrt{2} \cdot 400 + 50 \sqrt{2} (50 \sqrt{2})}$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $400$ par $400$ .

$\sqrt{5000 + 160000 + 400 (50 \sqrt{2}) + 50 \sqrt{2} \cdot 400 + 50 \sqrt{2} (50 \sqrt{2})}$

Étape 3.1.2

Multipliez $50$ par $400$ .

$\sqrt{5000 + 160000 + 20000 \sqrt{2} + 50 \sqrt{2} \cdot 400 + 50 \sqrt{2} (50 \sqrt{2})}$

Étape 3.1.3

Multipliez $400$ par $50$ .

$\sqrt{5000 + 160000 + 20000 \sqrt{2} + 20000 \sqrt{2} + 50 \sqrt{2} (50 \sqrt{2})}$

Étape 3.1.4

Multipliez $50 \sqrt{2} (50 \sqrt{2})$ .

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Étape 3.1.4.1

Multipliez $50$ par $50$ .

$\sqrt{5000 + 160000 + 20000 \sqrt{2} + 20000 \sqrt{2} + 2500 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 3.1.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{5000 + 160000 + 20000 \sqrt{2} + 20000 \sqrt{2} + 2500 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Étape 3.1.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{5000 + 160000 + 20000 \sqrt{2} + 20000 \sqrt{2} + 2500 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Étape 3.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt{5000 + 160000 + 20000 \sqrt{2} + 20000 \sqrt{2} + 2500 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 3.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sqrt{5000 + 160000 + 20000 \sqrt{2} + 20000 \sqrt{2} + 2500 {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 3.1.5

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 3.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{5000 + 160000 + 20000 \sqrt{2} + 20000 \sqrt{2} + 2500 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{5000 + 160000 + 20000 \sqrt{2} + 20000 \sqrt{2} + 2500 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{5000 + 160000 + 20000 \sqrt{2} + 20000 \sqrt{2} + 2500 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{5000 + 160000 + 20000 \sqrt{2} + 20000 \sqrt{2} + 2500 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{5000 + 160000 + 20000 \sqrt{2} + 20000 \sqrt{2} + 2500 \cdot 2^{1}}$

Étape 3.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{5000 + 160000 + 20000 \sqrt{2} + 20000 \sqrt{2} + 2500 \cdot 2}$

Étape 3.1.6

Multipliez $2500$ par $2$ .

$\sqrt{5000 + 160000 + 20000 \sqrt{2} + 20000 \sqrt{2} + 5000}$

Étape 3.2

Additionnez $160000$ et $5000$ .

$\sqrt{5000 + 165000 + 20000 \sqrt{2} + 20000 \sqrt{2}}$

Étape 3.3

Additionnez $20000 \sqrt{2}$ et $20000 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{5000 + 165000 + 40000 \sqrt{2}}$

Étape 4

Additionnez $5000$ et $165000$ .

$\sqrt{170000 + 40000 \sqrt{2}}$

Étape 5

Réécrivez $170000 + 40000 \sqrt{2}$ comme $100^{2} (17 + 4 \sqrt{2})$ .

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Étape 5.1

Factorisez $10000$ à partir de $170000$ .

$\sqrt{10000 (17) + 40000 \sqrt{2}}$

Étape 5.2

Factorisez $10000$ à partir de $40000 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{10000 (17) + 10000 (4 \sqrt{2})}$

Étape 5.3

Factorisez $10000$ à partir de $10000 (17) + 10000 (4 \sqrt{2})$ .

$\sqrt{10000 (17 + 4 \sqrt{2})}$

Étape 5.4

Réécrivez $10000$ comme $100^{2}$ .

$\sqrt{100^{2} (17 + 4 \sqrt{2})}$

Étape 6

Extrayez les termes de sous le radical.

$100 \sqrt{17 + 4 \sqrt{2}}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$100 \sqrt{17 + 4 \sqrt{2}}$

Forme décimale :

$475.99216642 \dots$