Trigonométrie Exemples

$\sqrt{\frac{1 - (- \frac{5 \sqrt{61}}{61})}{1 - \frac{5 \sqrt{61}}{61}}}$

Étape 1

Multipliez $- (- \frac{5 \sqrt{61}}{61})$ .

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Étape 1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{5 \sqrt{61}}{61}}{1 - \frac{5 \sqrt{61}}{61}}}$

Étape 1.2

Multipliez $\frac{5 \sqrt{61}}{61}$ par $1$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{5 \sqrt{61}}{61}}{1 - \frac{5 \sqrt{61}}{61}}}$

Étape 2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{61}{61} + \frac{5 \sqrt{61}}{61}}{1 - \frac{5 \sqrt{61}}{61}}}$

Étape 3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{61}}{1 - \frac{5 \sqrt{61}}{61}}}$

Étape 4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{61}}{\frac{61}{61} - \frac{5 \sqrt{61}}{61}}}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{61}}{\frac{61 - 5 \sqrt{61}}{61}}}$

Étape 6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{61} \cdot \frac{61}{61 - 5 \sqrt{61}}}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $61$ .

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{61} \cdot \frac{61}{61 - 5 \sqrt{61}}}$

Étape 7.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{(61 + 5 \sqrt{61}) \frac{1}{61 - 5 \sqrt{61}}}$

Étape 8

Multipliez $\frac{1}{61 - 5 \sqrt{61}}$ par $\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{61 + 5 \sqrt{61}}$ .

$\sqrt{(61 + 5 \sqrt{61}) (\frac{1}{61 - 5 \sqrt{61}} \cdot \frac{61 + 5 \sqrt{61}}{61 + 5 \sqrt{61}})}$

Étape 9

Multipliez $\frac{1}{61 - 5 \sqrt{61}}$ par $\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{61 + 5 \sqrt{61}}$ .

$\sqrt{(61 + 5 \sqrt{61}) \frac{61 + 5 \sqrt{61}}{(61 - 5 \sqrt{61}) (61 + 5 \sqrt{61})}}$

Étape 10

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\sqrt{(61 + 5 \sqrt{61}) \frac{61 + 5 \sqrt{61}}{3721 + 305 \sqrt{61} - 305 \sqrt{61} - 25 {\sqrt{61}}^{2}}}$

Étape 11

Simplifiez

$\sqrt{(61 + 5 \sqrt{61}) \frac{61 + 5 \sqrt{61}}{2196}}$

Étape 12

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{61 \frac{61 + 5 \sqrt{61}}{2196} + 5 \sqrt{61} \frac{61 + 5 \sqrt{61}}{2196}}$

Étape 13

Annulez le facteur commun de $61$ .

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Étape 13.1

Factorisez $61$ à partir de $2196$ .

$\sqrt{61 \frac{61 + 5 \sqrt{61}}{61 (36)} + 5 \sqrt{61} \frac{61 + 5 \sqrt{61}}{2196}}$

Étape 13.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{61 \frac{61 + 5 \sqrt{61}}{61 \cdot 36} + 5 \sqrt{61} \frac{61 + 5 \sqrt{61}}{2196}}$

Étape 13.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + 5 \sqrt{61} \frac{61 + 5 \sqrt{61}}{2196}}$

Étape 14

Multipliez $5 \sqrt{61} \frac{61 + 5 \sqrt{61}}{2196}$ .

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Étape 14.1

Associez $\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{2196}$ et $5$ .

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{(61 + 5 \sqrt{61}) \cdot 5}{2196} \sqrt{61}}$

Étape 14.2

Associez $\frac{(61 + 5 \sqrt{61}) \cdot 5}{2196}$ et $\sqrt{61}$ .

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{(61 + 5 \sqrt{61}) \cdot 5 \sqrt{61}}{2196}}$

Étape 15

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1

Regroupez $\sqrt{61}$ et $61 + 5 \sqrt{61}$ .

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{\sqrt{61} (61 + 5 \sqrt{61}) \cdot 5}{2196}}$

Étape 15.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{(\sqrt{61} \cdot 61 + \sqrt{61} (5 \sqrt{61})) \cdot 5}{2196}}$

Étape 15.3

Déplacez $61$ à gauche de $\sqrt{61}$ .

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{(61 \cdot \sqrt{61} + \sqrt{61} (5 \sqrt{61})) \cdot 5}{2196}}$

Étape 15.4

Multipliez $\sqrt{61} (5 \sqrt{61})$ .

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Étape 15.4.1

Élevez $\sqrt{61}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{(61 \cdot \sqrt{61} + 5 ({\sqrt{61}}^{1} \sqrt{61})) \cdot 5}{2196}}$

Étape 15.4.2

Élevez $\sqrt{61}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{(61 \cdot \sqrt{61} + 5 ({\sqrt{61}}^{1} {\sqrt{61}}^{1})) \cdot 5}{2196}}$

Étape 15.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{(61 \cdot \sqrt{61} + 5 {\sqrt{61}}^{1 + 1}) \cdot 5}{2196}}$

Étape 15.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{(61 \cdot \sqrt{61} + 5 {\sqrt{61}}^{2}) \cdot 5}{2196}}$

Étape 15.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.5.1

Réécrivez ${\sqrt{61}}^{2}$ comme $61$ .

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Étape 15.5.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{61}$ comme $61^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{(61 \sqrt{61} + 5 {(61^{\frac{1}{2}})}^{2}) \cdot 5}{2196}}$

Étape 15.5.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{(61 \sqrt{61} + 5 \cdot 61^{\frac{1}{2} \cdot 2}) \cdot 5}{2196}}$

Étape 15.5.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{(61 \sqrt{61} + 5 \cdot 61^{\frac{2}{2}}) \cdot 5}{2196}}$

Étape 15.5.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.5.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{(61 \sqrt{61} + 5 \cdot 61^{\frac{2}{2}}) \cdot 5}{2196}}$

Étape 15.5.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{(61 \sqrt{61} + 5 \cdot 61^{1}) \cdot 5}{2196}}$

Étape 15.5.1.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{(61 \sqrt{61} + 5 \cdot 61) \cdot 5}{2196}}$

Étape 15.5.2

Multipliez $5$ par $61$ .

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{(61 \sqrt{61} + 305) \cdot 5}{2196}}$

Étape 15.6

Annulez le facteur commun à $61 \sqrt{61} + 305$ et $2196$ .

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Étape 15.6.1

Factorisez $61$ à partir de $(61 \sqrt{61} + 305) \cdot 5$ .

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{61 ((\sqrt{61} + 5) \cdot 5)}{2196}}$

Étape 15.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.6.2.1

Factorisez $61$ à partir de $2196$ .

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{61 ((\sqrt{61} + 5) \cdot 5)}{61 (36)}}$

Étape 15.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{61 ((\sqrt{61} + 5) \cdot 5)}{61 \cdot 36}}$

Étape 15.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{(\sqrt{61} + 5) \cdot 5}{36}}$

Étape 15.7

Déplacez $5$ à gauche de $\sqrt{61} + 5$ .

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{5 (\sqrt{61} + 5)}{36}}$

Étape 16

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61} + 5 (\sqrt{61} + 5)}{36}}$

Étape 17

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61} + 5 \sqrt{61} + 5 \cdot 5}{36}}$

Étape 17.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61} + 5 \sqrt{61} + 25}{36}}$

Étape 18

Simplifiez les termes.

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Étape 18.1

Additionnez $61$ et $25$ .

$\sqrt{\frac{86 + 5 \sqrt{61} + 5 \sqrt{61}}{36}}$

Étape 18.2

Additionnez $5 \sqrt{61}$ et $5 \sqrt{61}$ .

$\sqrt{\frac{86 + 10 \sqrt{61}}{36}}$

Étape 18.3

Annulez le facteur commun à $86 + 10 \sqrt{61}$ et $36$ .

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Étape 18.3.1

Factorisez $2$ à partir de $86$ .

$\sqrt{\frac{2 (43) + 10 \sqrt{61}}{36}}$

Étape 18.3.2

Factorisez $2$ à partir de $10 \sqrt{61}$ .

$\sqrt{\frac{2 (43) + 2 (5 \sqrt{61})}{36}}$

Étape 18.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (43) + 2 (5 \sqrt{61})$ .

$\sqrt{\frac{2 (43 + 5 \sqrt{61})}{36}}$

Étape 18.3.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 18.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $36$ .

$\sqrt{\frac{2 (43 + 5 \sqrt{61})}{2 \cdot 18}}$

Étape 18.3.4.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{2 (43 + 5 \sqrt{61})}{2 \cdot 18}}$

Étape 18.3.4.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{43 + 5 \sqrt{61}}{18}}$

Étape 19

Réécrivez $\sqrt{\frac{43 + 5 \sqrt{61}}{18}}$ comme $\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}}}{\sqrt{18}}$ .

$\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}}}{\sqrt{18}}$

Étape 20

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 20.1

Réécrivez $18$ comme $3^{2} \cdot 2$ .

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Étape 20.1.1

Factorisez $9$ à partir de $18$ .

$\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}}}{\sqrt{9 (2)}}$

Étape 20.1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}}}{\sqrt{3^{2} \cdot 2}}$

Étape 20.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}}}{3 \sqrt{2}}$

Étape 21

Multipliez $\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}}}{3 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}}}{3 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 22

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 22.1

Multipliez $\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}}}{3 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}} \sqrt{2}}{3 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 22.2

Déplacez $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}} \sqrt{2}}{3 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Étape 22.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}} \sqrt{2}}{3 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Étape 22.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}} \sqrt{2}}{3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Étape 22.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}} \sqrt{2}}{3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 22.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}} \sqrt{2}}{3 {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 22.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 22.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}} \sqrt{2}}{3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 22.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}} \sqrt{2}}{3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 22.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}} \sqrt{2}}{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 22.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 22.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}} \sqrt{2}}{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 22.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}} \sqrt{2}}{3 \cdot 2^{1}}$

Étape 22.7.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}} \sqrt{2}}{3 \cdot 2}$

Étape 23

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{(43 + 5 \sqrt{61}) \cdot 2}}{3 \cdot 2}$

Étape 24

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{(43 + 5 \sqrt{61}) \cdot 2}}{6}$

Étape 25

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{(43 + 5 \sqrt{61}) \cdot 2}}{6}$

Forme décimale :

$2.13504161 \dots$