Trigonométrie Exemples

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{11}}{5}}{1 - \frac{\sqrt{11}}{5}}}$

Étape 1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{5}{5} + \frac{\sqrt{11}}{5}}{1 - \frac{\sqrt{11}}{5}}}$

Étape 2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{5 + \sqrt{11}}{5}}{1 - \frac{\sqrt{11}}{5}}}$

Étape 3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{5 + \sqrt{11}}{5}}{\frac{5}{5} - \frac{\sqrt{11}}{5}}}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{5 + \sqrt{11}}{5}}{\frac{5 - \sqrt{11}}{5}}}$

Étape 5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sqrt{\frac{5 + \sqrt{11}}{5} \cdot \frac{5}{5 - \sqrt{11}}}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{5 + \sqrt{11}}{5} \cdot \frac{5}{5 - \sqrt{11}}}$

Étape 6.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{(5 + \sqrt{11}) \frac{1}{5 - \sqrt{11}}}$

Étape 7

Multipliez $\frac{1}{5 - \sqrt{11}}$ par $\frac{5 + \sqrt{11}}{5 + \sqrt{11}}$ .

$\sqrt{(5 + \sqrt{11}) (\frac{1}{5 - \sqrt{11}} \cdot \frac{5 + \sqrt{11}}{5 + \sqrt{11}})}$

Étape 8

Simplifiez les termes.

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Étape 8.1

Multipliez $\frac{1}{5 - \sqrt{11}}$ par $\frac{5 + \sqrt{11}}{5 + \sqrt{11}}$ .

$\sqrt{(5 + \sqrt{11}) \frac{5 + \sqrt{11}}{(5 - \sqrt{11}) (5 + \sqrt{11})}}$

Étape 8.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\sqrt{(5 + \sqrt{11}) \frac{5 + \sqrt{11}}{25 + 5 \sqrt{11} - 5 \sqrt{11} - {\sqrt{11}}^{2}}}$

Étape 8.3

Simplifiez

$\sqrt{(5 + \sqrt{11}) \frac{5 + \sqrt{11}}{14}}$

Étape 8.4

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{5 \frac{5 + \sqrt{11}}{14} + \sqrt{11} \frac{5 + \sqrt{11}}{14}}$

Étape 8.5

Associez $5$ et $\frac{5 + \sqrt{11}}{14}$ .

$\sqrt{\frac{5 (5 + \sqrt{11})}{14} + \sqrt{11} \frac{5 + \sqrt{11}}{14}}$

Étape 8.6

Associez $\sqrt{11}$ et $\frac{5 + \sqrt{11}}{14}$ .

$\sqrt{\frac{5 (5 + \sqrt{11})}{14} + \frac{\sqrt{11} (5 + \sqrt{11})}{14}}$

Étape 8.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{5 (5 + \sqrt{11}) + \sqrt{11} (5 + \sqrt{11})}{14}}$

Étape 9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{\frac{5 \cdot 5 + 5 \sqrt{11} + \sqrt{11} (5 + \sqrt{11})}{14}}$

Étape 9.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$\sqrt{\frac{25 + 5 \sqrt{11} + \sqrt{11} (5 + \sqrt{11})}{14}}$

Étape 9.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{\frac{25 + 5 \sqrt{11} + \sqrt{11} \cdot 5 + \sqrt{11} \sqrt{11}}{14}}$

Étape 9.4

Déplacez $5$ à gauche de $\sqrt{11}$ .

$\sqrt{\frac{25 + 5 \sqrt{11} + 5 \cdot \sqrt{11} + \sqrt{11} \sqrt{11}}{14}}$

Étape 9.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sqrt{\frac{25 + 5 \sqrt{11} + 5 \cdot \sqrt{11} + \sqrt{11 \cdot 11}}{14}}$

Étape 9.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.6.1

Multipliez $11$ par $11$ .

$\sqrt{\frac{25 + 5 \sqrt{11} + 5 \sqrt{11} + \sqrt{121}}{14}}$

Étape 9.6.2

Réécrivez $121$ comme $11^{2}$ .

$\sqrt{\frac{25 + 5 \sqrt{11} + 5 \sqrt{11} + \sqrt{11^{2}}}{14}}$

Étape 9.6.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\sqrt{\frac{25 + 5 \sqrt{11} + 5 \sqrt{11} + 11}{14}}$

Étape 10

Simplifiez les termes.

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Étape 10.1

Additionnez $25$ et $11$ .

$\sqrt{\frac{36 + 5 \sqrt{11} + 5 \sqrt{11}}{14}}$

Étape 10.2

Additionnez $5 \sqrt{11}$ et $5 \sqrt{11}$ .

$\sqrt{\frac{36 + 10 \sqrt{11}}{14}}$

Étape 10.3

Annulez le facteur commun à $36 + 10 \sqrt{11}$ et $14$ .

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Étape 10.3.1

Factorisez $2$ à partir de $36$ .

$\sqrt{\frac{2 (18) + 10 \sqrt{11}}{14}}$

Étape 10.3.2

Factorisez $2$ à partir de $10 \sqrt{11}$ .

$\sqrt{\frac{2 (18) + 2 (5 \sqrt{11})}{14}}$

Étape 10.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (18) + 2 (5 \sqrt{11})$ .

$\sqrt{\frac{2 (18 + 5 \sqrt{11})}{14}}$

Étape 10.3.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $14$ .

$\sqrt{\frac{2 (18 + 5 \sqrt{11})}{2 \cdot 7}}$

Étape 10.3.4.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{2 (18 + 5 \sqrt{11})}{2 \cdot 7}}$

Étape 10.3.4.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{18 + 5 \sqrt{11}}{7}}$

Étape 11

Réécrivez $\sqrt{\frac{18 + 5 \sqrt{11}}{7}}$ comme $\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}}}{\sqrt{7}}$ .

$\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}}}{\sqrt{7}}$

Étape 12

Multipliez $\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}}}{\sqrt{7}}$ par $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

Étape 13

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 13.1

Multipliez $\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}}}{\sqrt{7}}$ par $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Étape 13.2

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

Étape 13.3

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

Étape 13.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Étape 13.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Étape 13.6

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

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Étape 13.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}} \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 13.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}} \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 13.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Étape 13.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Étape 13.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}} \sqrt{7}}{7^{1}}$

Étape 13.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}} \sqrt{7}}{7}$

Étape 14

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{(18 + 5 \sqrt{11}) \cdot 7}}{7}$

Étape 15

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{(18 + 5 \sqrt{11}) \cdot 7}}{7}$

Forme décimale :

$2.22271146 \dots$