Trigonométrie Exemples

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{11}}{1}}{1 - \frac{\sqrt{11}}{1}}}$

Étape 1

Divisez $\sqrt{11}$ par $1$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{11}}{1}}{1 - \sqrt{11}}}$

Étape 2

Divisez $\sqrt{11}$ par $1$ .

$\sqrt{\frac{1 + \sqrt{11}}{1 - \sqrt{11}}}$

Étape 3

Multipliez $\frac{1 + \sqrt{11}}{1 - \sqrt{11}}$ par $\frac{1 + \sqrt{11}}{1 + \sqrt{11}}$ .

$\sqrt{\frac{1 + \sqrt{11}}{1 - \sqrt{11}} \cdot \frac{1 + \sqrt{11}}{1 + \sqrt{11}}}$

Étape 4

Associez les fractions.

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{1 + \sqrt{11}}{1 - \sqrt{11}}$ par $\frac{1 + \sqrt{11}}{1 + \sqrt{11}}$ .

$\sqrt{\frac{(1 + \sqrt{11}) (1 + \sqrt{11})}{(1 - \sqrt{11}) (1 + \sqrt{11})}}$

Étape 4.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\sqrt{\frac{(1 + \sqrt{11}) (1 + \sqrt{11})}{1 + \sqrt{11} - \sqrt{11} - {\sqrt{11}}^{2}}}$

Étape 4.3

Simplifiez

$\sqrt{\frac{(1 + \sqrt{11}) (1 + \sqrt{11})}{- 10}}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Élevez $1 + \sqrt{11}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{\frac{{(1 + \sqrt{11})}^{1} (1 + \sqrt{11})}{- 10}}$

Étape 5.2

Élevez $1 + \sqrt{11}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{\frac{{(1 + \sqrt{11})}^{1} {(1 + \sqrt{11})}^{1}}{- 10}}$

Étape 5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt{\frac{{(1 + \sqrt{11})}^{1 + 1}}{- 10}}$

Étape 5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sqrt{\frac{{(1 + \sqrt{11})}^{2}}{- 10}}$

Étape 6

Réécrivez ${(1 + \sqrt{11})}^{2}$ comme $(1 + \sqrt{11}) (1 + \sqrt{11})$ .

$\sqrt{\frac{(1 + \sqrt{11}) (1 + \sqrt{11})}{- 10}}$

Étape 7

Développez $(1 + \sqrt{11}) (1 + \sqrt{11})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{\frac{1 (1 + \sqrt{11}) + \sqrt{11} (1 + \sqrt{11})}{- 10}}$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{11} + \sqrt{11} (1 + \sqrt{11})}{- 10}}$

Étape 7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{11} + \sqrt{11} \cdot 1 + \sqrt{11} \sqrt{11}}{- 10}}$

Étape 8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\sqrt{\frac{1 + 1 \sqrt{11} + \sqrt{11} \cdot 1 + \sqrt{11} \sqrt{11}}{- 10}}$

Étape 8.1.2

Multipliez $\sqrt{11}$ par $1$ .

$\sqrt{\frac{1 + \sqrt{11} + \sqrt{11} \cdot 1 + \sqrt{11} \sqrt{11}}{- 10}}$

Étape 8.1.3

Multipliez $\sqrt{11}$ par $1$ .

$\sqrt{\frac{1 + \sqrt{11} + \sqrt{11} + \sqrt{11} \sqrt{11}}{- 10}}$

Étape 8.1.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sqrt{\frac{1 + \sqrt{11} + \sqrt{11} + \sqrt{11 \cdot 11}}{- 10}}$

Étape 8.1.5

Multipliez $11$ par $11$ .

$\sqrt{\frac{1 + \sqrt{11} + \sqrt{11} + \sqrt{121}}{- 10}}$

Étape 8.1.6

Réécrivez $121$ comme $11^{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 + \sqrt{11} + \sqrt{11} + \sqrt{11^{2}}}{- 10}}$

Étape 8.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\sqrt{\frac{1 + \sqrt{11} + \sqrt{11} + 11}{- 10}}$

Étape 8.2

Additionnez $1$ et $11$ .

$\sqrt{\frac{12 + \sqrt{11} + \sqrt{11}}{- 10}}$

Étape 8.3

Additionnez $\sqrt{11}$ et $\sqrt{11}$ .

$\sqrt{\frac{12 + 2 \sqrt{11}}{- 10}}$

Étape 9

Annulez le facteur commun à $12 + 2 \sqrt{11}$ et $- 10$ .

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Étape 9.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 6 + 2 \sqrt{11}}{- 10}}$

Étape 9.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{11}$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 6 + 2 (\sqrt{11})}{- 10}}$

Étape 9.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 6 + 2 (\sqrt{11})$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot (6 + \sqrt{11})}{- 10}}$

Étape 9.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 10$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot (6 + \sqrt{11})}{2 (- 5)}}$

Étape 9.4.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{2 \cdot (6 + \sqrt{11})}{2 \cdot - 5}}$

Étape 9.4.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{6 + \sqrt{11}}{- 5}}$

Étape 10

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sqrt{- \frac{6 + \sqrt{11}}{5}}$

Étape 10.2

Réécrivez $- 1$ comme $i^{2}$ .

$\sqrt{i^{2} \frac{6 + \sqrt{11}}{5}}$

Étape 11

Extrayez les termes de sous le radical.

$i \sqrt{\frac{6 + \sqrt{11}}{5}}$

Étape 12

Réécrivez $\sqrt{\frac{6 + \sqrt{11}}{5}}$ comme $\frac{\sqrt{6 + \sqrt{11}}}{\sqrt{5}}$ .

$i \frac{\sqrt{6 + \sqrt{11}}}{\sqrt{5}}$

Étape 13

Multipliez $\frac{\sqrt{6 + \sqrt{11}}}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$i (\frac{\sqrt{6 + \sqrt{11}}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Étape 14

Simplifiez les termes.

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Étape 14.1

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 14.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{6 + \sqrt{11}}}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$i \frac{\sqrt{6 + \sqrt{11}} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 14.1.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$i \frac{\sqrt{6 + \sqrt{11}} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Étape 14.1.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$i \frac{\sqrt{6 + \sqrt{11}} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Étape 14.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$i \frac{\sqrt{6 + \sqrt{11}} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Étape 14.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$i \frac{\sqrt{6 + \sqrt{11}} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 14.1.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 14.1.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$i \frac{\sqrt{6 + \sqrt{11}} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 14.1.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$i \frac{\sqrt{6 + \sqrt{11}} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 14.1.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$i \frac{\sqrt{6 + \sqrt{11}} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 14.1.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$i \frac{\sqrt{6 + \sqrt{11}} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 14.1.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$i \frac{\sqrt{6 + \sqrt{11}} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Étape 14.1.6.5

Évaluez l’exposant.

$i \frac{\sqrt{6 + \sqrt{11}} \sqrt{5}}{5}$

Étape 14.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$i \frac{\sqrt{(6 + \sqrt{11}) \cdot 5}}{5}$

Étape 14.3

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{(6 + \sqrt{11}) \cdot 5}}{5}$ .

$\frac{i \sqrt{(6 + \sqrt{11}) \cdot 5}}{5}$

Étape 15

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{i \sqrt{6 \cdot 5 + \sqrt{11} \cdot 5}}{5}$

Étape 15.2

Multipliez $6$ par $5$ .

$\frac{i \sqrt{30 + \sqrt{11} \cdot 5}}{5}$

Étape 15.3

Déplacez $5$ à gauche de $\sqrt{11}$ .

$\frac{i \sqrt{30 + 5 \sqrt{11}}}{5}$