Trigonométrie Exemples

$\frac{7 + \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{7 + \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}}$ par $\frac{3 - \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}}$ .

$\frac{7 + \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}} \cdot \frac{3 - \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{7 + \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}}$ par $\frac{3 - \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}}$ .

$\frac{(7 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5})}{(3 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5})}$

Étape 2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(7 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5})}{9 - 3 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 3 - {\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

$\frac{(7 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5})}{4}$

Étape 3

Développez $(7 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 (3 - \sqrt{5}) + \sqrt{5} (3 - \sqrt{5})}{4}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 \cdot 3 + 7 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} (3 - \sqrt{5})}{4}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 \cdot 3 + 7 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} \cdot 3 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{4}$

Étape 4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $7$ par $3$ .

$\frac{21 + 7 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} \cdot 3 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{4}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$\frac{21 - 7 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 3 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{4}$

Étape 4.1.3

Déplacez $3$ à gauche de $\sqrt{5}$ .

$\frac{21 - 7 \sqrt{5} + 3 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{4}$

Étape 4.1.4

Multipliez $\sqrt{5} (- \sqrt{5})$ .

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Étape 4.1.4.1

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{21 - 7 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}{4}$

Étape 4.1.4.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{21 - 7 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}{4}$

Étape 4.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{21 - 7 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{1 + 1}}{4}$

Étape 4.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{21 - 7 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{2}}{4}$

Étape 4.1.5

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 4.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{21 - 7 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Étape 4.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{21 - 7 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Étape 4.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{21 - 7 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 4.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{21 - 7 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 4.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{21 - 7 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - 5^{1}}{4}$

Étape 4.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{21 - 7 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - 1 \cdot 5}{4}$

Étape 4.1.6

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{21 - 7 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - 5}{4}$

Étape 4.2

Soustrayez $5$ de $21$ .

$\frac{16 - 7 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5}}{4}$

Étape 4.3

Additionnez $- 7 \sqrt{5}$ et $3 \sqrt{5}$ .

$\frac{16 - 4 \sqrt{5}}{4}$

Étape 5

Annulez le facteur commun à $16 - 4 \sqrt{5}$ et $4$ .

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Étape 5.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$\frac{4 \cdot 4 - 4 \sqrt{5}}{4}$

Étape 5.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 \sqrt{5}$ .

$\frac{4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{5})}{4}$

Étape 5.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (4) + 4 (- \sqrt{5})$ .

$\frac{4 (4 - \sqrt{5})}{4}$

Étape 5.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 (4 - \sqrt{5})}{4 (1)}$

Étape 5.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (4 - \sqrt{5})}{4 \cdot 1}$

Étape 5.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 - \sqrt{5}}{1}$

Étape 5.4.4

Divisez $4 - \sqrt{5}$ par $1$ .

$4 - \sqrt{5}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$4 - \sqrt{5}$

Forme décimale :

$1.76393202 \dots$