Trigonométrie Exemples

$\frac{7 + \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{7 + \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}}$ par $\frac{3 + \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}}$ .

$\frac{7 + \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}} \cdot \frac{3 + \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{7 + \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}}$ par $\frac{3 + \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}}$ .

$\frac{(7 + \sqrt{5}) (3 + \sqrt{5})}{(3 - \sqrt{5}) (3 + \sqrt{5})}$

Étape 2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(7 + \sqrt{5}) (3 + \sqrt{5})}{9 + 3 \sqrt{5} - 3 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

$\frac{(7 + \sqrt{5}) (3 + \sqrt{5})}{4}$

Étape 3

Développez $(7 + \sqrt{5}) (3 + \sqrt{5})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 (3 + \sqrt{5}) + \sqrt{5} (3 + \sqrt{5})}{4}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 \cdot 3 + 7 \sqrt{5} + \sqrt{5} (3 + \sqrt{5})}{4}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 \cdot 3 + 7 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 3 + \sqrt{5} \sqrt{5}}{4}$

Étape 4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $7$ par $3$ .

$\frac{21 + 7 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 3 + \sqrt{5} \sqrt{5}}{4}$

Étape 4.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $\sqrt{5}$ .

$\frac{21 + 7 \sqrt{5} + 3 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{4}$

Étape 4.1.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{21 + 7 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} + \sqrt{5 \cdot 5}}{4}$

Étape 4.1.4

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{21 + 7 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} + \sqrt{25}}{4}$

Étape 4.1.5

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{21 + 7 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} + \sqrt{5^{2}}}{4}$

Étape 4.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{21 + 7 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} + 5}{4}$

Étape 4.2

Additionnez $21$ et $5$ .

$\frac{26 + 7 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5}}{4}$

Étape 4.3

Additionnez $7 \sqrt{5}$ et $3 \sqrt{5}$ .

$\frac{26 + 10 \sqrt{5}}{4}$

Étape 5

Annulez le facteur commun à $26 + 10 \sqrt{5}$ et $4$ .

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Étape 5.1

Factorisez $2$ à partir de $26$ .

$\frac{2 (13) + 10 \sqrt{5}}{4}$

Étape 5.2

Factorisez $2$ à partir de $10 \sqrt{5}$ .

$\frac{2 (13) + 2 (5 \sqrt{5})}{4}$

Étape 5.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (13) + 2 (5 \sqrt{5})$ .

$\frac{2 (13 + 5 \sqrt{5})}{4}$

Étape 5.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 (13 + 5 \sqrt{5})}{2 \cdot 2}$

Étape 5.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (13 + 5 \sqrt{5})}{2 \cdot 2}$

Étape 5.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{13 + 5 \sqrt{5}}{2}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{13 + 5 \sqrt{5}}{2}$

Forme décimale :

$12.09016994 \dots$