Trigonométrie Exemples

$v (\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}})$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$v \frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Étape 1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$v \frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$v \frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Étape 2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$v \frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Étape 3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$v (\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}})$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun.

$v (\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}})$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression.

$v ((2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}})$

Étape 5

Multipliez $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ par $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$v ((2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}))$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Multipliez $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ par $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$v ((2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})})$

Étape 6.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$v ((2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}})$

Étape 6.3

Simplifiez

$v ((2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2})$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$v (2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2})$

Étape 6.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.5.1

Annulez le facteur commun.

$v (2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2})$

Étape 6.5.2

Réécrivez l’expression.

$v (2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2})$

Étape 6.6

Associez $\sqrt{2}$ et $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ .

$v (2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2})$

Étape 7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$v (2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2})$

Étape 7.2

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{2}$ .

$v (2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2})$

Étape 7.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$v (2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2})$

Étape 7.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.4.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$v (2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2})$

Étape 7.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$v (2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2})$

Étape 7.4.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$v (2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + 2}{2})$

Étape 7.5

Annulez le facteur commun à $2 \sqrt{2} + 2$ et $2$ .

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Étape 7.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{2}$ .

$v (2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2}{2})$

Étape 7.5.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$v (2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot 1}{2})$

Étape 7.5.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (\sqrt{2}) + 2 (1)$ .

$v (2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2})$

Étape 7.5.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.5.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$v (2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 (1)})$

Étape 7.5.4.2

Annulez le facteur commun.

$v (2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 \cdot 1})$

Étape 7.5.4.3

Réécrivez l’expression.

$v (2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} + 1}{1})$

Étape 7.5.4.4

Divisez $\sqrt{2} + 1$ par $1$ .

$v (2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1)$

Étape 8

Simplifiez les termes.

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Étape 8.1

Additionnez $2$ et $1$ .

$v (3 + \sqrt{2} + \sqrt{2})$

Étape 8.2

Additionnez $\sqrt{2}$ et $\sqrt{2}$ .

$v (3 + 2 \sqrt{2})$

Étape 8.3

Appliquez la propriété distributive.

$v \cdot 3 + v (2 \sqrt{2})$

Étape 8.4

Déplacez $3$ à gauche de $v$ .

$3 \cdot v + v (2 \sqrt{2})$

Étape 9

Déplacez $2$ à gauche de $v$ .

$3 v + 2 v \sqrt{2}$