Trigonométrie Exemples

$\frac{5 \sqrt{2} + \sqrt{10}}{10 \sqrt{2} - \sqrt{10}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{5 \sqrt{2} + \sqrt{10}}{10 \sqrt{2} - \sqrt{10}}$ par $\frac{10 \sqrt{2} + \sqrt{10}}{10 \sqrt{2} + \sqrt{10}}$ .

$\frac{5 \sqrt{2} + \sqrt{10}}{10 \sqrt{2} - \sqrt{10}} \cdot \frac{10 \sqrt{2} + \sqrt{10}}{10 \sqrt{2} + \sqrt{10}}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{5 \sqrt{2} + \sqrt{10}}{10 \sqrt{2} - \sqrt{10}}$ par $\frac{10 \sqrt{2} + \sqrt{10}}{10 \sqrt{2} + \sqrt{10}}$ .

$\frac{(5 \sqrt{2} + \sqrt{10}) (10 \sqrt{2} + \sqrt{10})}{(10 \sqrt{2} - \sqrt{10}) (10 \sqrt{2} + \sqrt{10})}$

Étape 2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(5 \sqrt{2} + \sqrt{10}) (10 \sqrt{2} + \sqrt{10})}{100 {\sqrt{2}}^{2} + 10 \sqrt{20} - 10 \sqrt{20} - {\sqrt{10}}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

$\frac{(5 \sqrt{2} + \sqrt{10}) (10 \sqrt{2} + \sqrt{10})}{190}$

Étape 3

Développez $(5 \sqrt{2} + \sqrt{10}) (10 \sqrt{2} + \sqrt{10})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 \sqrt{2} (10 \sqrt{2} + \sqrt{10}) + \sqrt{10} (10 \sqrt{2} + \sqrt{10})}{190}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 \sqrt{2} (10 \sqrt{2}) + 5 \sqrt{2} \sqrt{10} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2} + \sqrt{10})}{190}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 \sqrt{2} (10 \sqrt{2}) + 5 \sqrt{2} \sqrt{10} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Étape 4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $5 \sqrt{2} (10 \sqrt{2})$ .

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Étape 4.1.1.1

Multipliez $10$ par $5$ .

$\frac{50 \sqrt{2} \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} \sqrt{10} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Étape 4.1.1.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{50 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + 5 \sqrt{2} \sqrt{10} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Étape 4.1.1.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{50 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + 5 \sqrt{2} \sqrt{10} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Étape 4.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{50 {\sqrt{2}}^{1 + 1} + 5 \sqrt{2} \sqrt{10} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Étape 4.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{50 {\sqrt{2}}^{2} + 5 \sqrt{2} \sqrt{10} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Étape 4.1.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{50 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 5 \sqrt{2} \sqrt{10} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Étape 4.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{50 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 5 \sqrt{2} \sqrt{10} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Étape 4.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{50 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 5 \sqrt{2} \sqrt{10} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Étape 4.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{50 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 5 \sqrt{2} \sqrt{10} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Étape 4.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{50 \cdot 2^{1} + 5 \sqrt{2} \sqrt{10} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Étape 4.1.2.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{50 \cdot 2 + 5 \sqrt{2} \sqrt{10} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Étape 4.1.3

Multipliez $50$ par $2$ .

$\frac{100 + 5 \sqrt{2} \sqrt{10} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Étape 4.1.4

Multipliez $5 \sqrt{2} \sqrt{10}$ .

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Étape 4.1.4.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{100 + 5 \sqrt{10 \cdot 2} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Étape 4.1.4.2

Multipliez $10$ par $2$ .

$\frac{100 + 5 \sqrt{20} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Étape 4.1.5

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 4.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$\frac{100 + 5 \sqrt{4 (5)} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Étape 4.1.5.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{100 + 5 \sqrt{2^{2} \cdot 5} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Étape 4.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{100 + 5 (2 \sqrt{5}) + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Étape 4.1.7

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{100 + 10 \sqrt{5} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Étape 4.1.8

Multipliez $\sqrt{10} (10 \sqrt{2})$ .

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Étape 4.1.8.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{100 + 10 \sqrt{5} + 10 \sqrt{10 \cdot 2} + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Étape 4.1.8.2

Multipliez $10$ par $2$ .

$\frac{100 + 10 \sqrt{5} + 10 \sqrt{20} + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Étape 4.1.9

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 4.1.9.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$\frac{100 + 10 \sqrt{5} + 10 \sqrt{4 (5)} + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Étape 4.1.9.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{100 + 10 \sqrt{5} + 10 \sqrt{2^{2} \cdot 5} + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Étape 4.1.10

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{100 + 10 \sqrt{5} + 10 (2 \sqrt{5}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Étape 4.1.11

Multipliez $2$ par $10$ .

$\frac{100 + 10 \sqrt{5} + 20 \sqrt{5} + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Étape 4.1.12

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{100 + 10 \sqrt{5} + 20 \sqrt{5} + \sqrt{10 \cdot 10}}{190}$

Étape 4.1.13

Multipliez $10$ par $10$ .

$\frac{100 + 10 \sqrt{5} + 20 \sqrt{5} + \sqrt{100}}{190}$

Étape 4.1.14

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$\frac{100 + 10 \sqrt{5} + 20 \sqrt{5} + \sqrt{10^{2}}}{190}$

Étape 4.1.15

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{100 + 10 \sqrt{5} + 20 \sqrt{5} + 10}{190}$

Étape 4.2

Additionnez $100$ et $10$ .

$\frac{110 + 10 \sqrt{5} + 20 \sqrt{5}}{190}$

Étape 4.3

Additionnez $10 \sqrt{5}$ et $20 \sqrt{5}$ .

$\frac{110 + 30 \sqrt{5}}{190}$

Étape 5

Annulez le facteur commun à $110 + 30 \sqrt{5}$ et $190$ .

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Étape 5.1

Factorisez $10$ à partir de $110$ .

$\frac{10 (11) + 30 \sqrt{5}}{190}$

Étape 5.2

Factorisez $10$ à partir de $30 \sqrt{5}$ .

$\frac{10 (11) + 10 (3 \sqrt{5})}{190}$

Étape 5.3

Factorisez $10$ à partir de $10 (11) + 10 (3 \sqrt{5})$ .

$\frac{10 (11 + 3 \sqrt{5})}{190}$

Étape 5.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.1

Factorisez $10$ à partir de $190$ .

$\frac{10 (11 + 3 \sqrt{5})}{10 \cdot 19}$

Étape 5.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 (11 + 3 \sqrt{5})}{10 \cdot 19}$

Étape 5.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{11 + 3 \sqrt{5}}{19}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{11 + 3 \sqrt{5}}{19}$

Forme décimale :

$0.93201073 \dots$